Trong không gian hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$ có $B(3;0;8)$, $D(-5;-4;0)$. Gọi $A(a;b;0)$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính tổng $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm hình vuông là trung điểm BD: $I=\left(\frac{3-5}{2};\frac{0-4}{2};\frac{8+0}{2}\right)=(-1;-2;4)$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $I$ cũng là trung điểm $AC$ và hai đường chéo vuông góc: $AC\perp BD$, đồng thời $IA=IB=\frac{BD}{2}$.

$\overrightarrow{BD}=(-8;-4;-8)$ nên $BD=\sqrt{64+16+64}=12\Rightarrow IA=6$.

Vì $I$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{IA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$... cụ thể $A=2I-C$, do đó $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{IC}$ và $\overrightarrow{IA}\perp \overrightarrow{BD}$.

Gọi $\overrightarrow{IA}=(a+1;b+2;-4)$ (vì $A_z=0$, $I_z=4$). Điều kiện:
- $|\overrightarrow{IA}|=6$: $(a+1{)}^2+(b+2{)}^2+16=36\Rightarrow (a+1{)}^2+(b+2{)}^2=20$.
- $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{BD}=0$: $-8(a+1)-4(b+2)+32=0\Rightarrow 2a+b=4$.

Thay $b=4-2a$: $(a+1{)}^2+(6-2a{)}^2=20\Rightarrow 5a^2-22a+17=0\Rightarrow a=1$ hoặc $a=\frac{17}{5}$. Vì $a\in \mathbb{Z}$ nên $a=1$, suy ra $b=2$.

Kiểm tra: $A(1;2;0)$, $\overrightarrow{IA}=(2;4;-4)$, $|\overrightarrow{IA}|=\sqrt{4+16+16}=6$ ✓, $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{BD}=-16-16+32=0$ ✓. Khi đó $C=2I-A=(-3;-6;8)$ và $ABCD$ là hình vuông.

Vậy $a+b=1+2=3$.