Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(1;2;1)$, $B(2;0;-1)$, $C(1;3;-4)$, $D(0;-2;2)$ và $M$ là một điểm thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=4M{D}^2$. Biết rằng $M$ nằm trên một mặt cầu có tâm $I(a;b;c)$, tính $a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm của $A,B,C$: $G=\left(\frac{4}{3};\frac{5}{3};-\frac{4}{3}\right)$. Theo đẳng thức trọng tâm: $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3M{G}^2+G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2$. Ta có $|A{|}^2+|B{|}^2+|C{|}^2=6+5+26=37$ và $|G{|}^2=\frac{19}{3}$, nên $G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2=37-3\cdot \frac{19}{3}=18$. Với $M(x;y;z)$: $3M{G}^2=3|M{|}^2-6M\cdot G+3|G{|}^2=3|M{|}^2-6M\cdot G+19$; $4M{D}^2=4|M{|}^2-8M\cdot D+4|D{|}^2=4|M{|}^2-8M\cdot D+32$ (vì $|D{|}^2=8$). Phương trình $M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=4M{D}^2$ trở thành $3|M{|}^2-6M\cdot G+37=4|M{|}^2-8M\cdot D+32$, tức $|M{|}^2+M\cdot (6G-8D)-5=0$. Vì $6G=(8;10;-8)$, $8D=(0;-16;16)$ nên $6G-8D=(8;26;-24)$, suy ra $x^2+y^2+z^2+8x+26y-24z-5=0$. Đây là phương trình mặt cầu tâm $I(-4;-13;12)$, bán kính $R=\sqrt{16+169+144+5}=\sqrt{334}$. Vậy $a+b+c=-4-13+12=-5$.