Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(6;-3;4)$, mặt phẳng $(P):x-y-2=0$ và đường thẳng $\Delta :\frac{x}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$

a) VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Oxz)$ là $\vec{n}=\vec{j}=(0;1;0)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Oxz)$.
Khi đó $\cos \alpha =\cos ((P),(Oxz))=\frac{|1\cdot 0+(-1)\cdot 1+0\cdot 0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{\circ }$.

b) Thay tọa độ $A(6;-3;4)$ vào đường thẳng $\Delta$ ta được $\frac{6}{3}=\frac{-3+1}{-1}=\frac{4-2}{1}$ (đúng) nên $A\in \Delta$.

c) Khoảng cách từ điểm $A(6;-3;4)$ đến mặt phẳng $(P):x-y-2=0$ là
$$d(A,(P))=\frac{|6+3-2|}{1^2+(-1{)}^2+0^2}$$

d) VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Q)$ là ${\vec{n}}_{(Q)}=(m;n;1)$.
Để $(P)\perp (Q)\iff m\cdot 1+n\cdot (-1)+1\cdot 0=0\iff m-n=0\iff m=n$.

Chọn đáp án a sai | b đúng | c sai | d đúng.
a) VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Oxz)$ là $\vec{n}=\vec{j}=(0;1;0)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Oxz)$.
Khi đó $\cos \alpha =\cos ((P),(Oxz))=\frac{|1\cdot 0+(-1)\cdot 1+0\cdot 0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{\circ }$.
b) Thay tọa độ $A(6;-3;4)$ vào đường thẳng $\Delta$ ta được $\frac{6}{3}=\frac{-3+1}{-1}=\frac{4-2}{1}$ (đúng) nên $A\in \Delta$.
c) Khoảng cách từ điểm $A(6;-3;4)$ đến mặt phẳng $(P):x-y-2=0$ là
$$d(A,(P))=\frac{|6+3-2|}{1^2+(-1{)}^2+0^2}$$
d) VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Q)$ là ${\vec{n}}_{(Q)}=(m;n;1)$.
Để $(P)\perp (Q)\iff m\cdot 1+n\cdot (-1)+1\cdot 0=0\iff m-n=0\iff m=n$.