Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;3)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oz$ và cách điểm $M$ một khoảng lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oz$ nên có dạng $ax+by=0$ ($a^2+b^2\ne 0$). Khoảng cách từ $M(1;2;3)$ đến $(P)$ là $d=\frac{|a+2b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz: $(a+2b{)}^2\le (a^2+b^2)(1^2+2^2)=5(a^2+b^2)$, nên $d\le \sqrt{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $(a,b)$ cùng phương với $(1;2)$, tức $a:b=1:2$, khi đó $(P)$: $x+2y=0$. Kiểm tra: $d(M,(P))=\frac{|1+4|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, đúng giá trị lớn nhất. Vậy $(P):x+2y=0$.