Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1)$, $B(-1;1;3)$ và mặt phẳng $(P):x-3y+2z-5=0$. Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A,B$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình dạng $ax+by+cz+11=0$. Tổng $a+b+c$ bằng

Ta có $A(2;4;1),B(-1;1;3)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-3;-3;2)$.
Vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_P=(1;-3;2)$.
Do mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A,B$ và vuông góc với $(P)$ nên nhận vectơ $[\overrightarrow{AB},{\vec{n}}_P]=(0;8;12)$ làm vectơ chỉ phương pháp tuyến.
Chọn vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_Q=(0;-2;-3)$.
Phương trình mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(2;4;1)$ là:
$0(x-2)-2(y-4)-3(z-1)=0\iff -2y-3z+11=0\iff 0x-2y-3z+11=0$.
Suy ra $a=0,b=-2,c=-3\Rightarrow a+b+c=-5$.