Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;4;1),B(-2;2;-3)$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{n_1}=(1;1;1),\overrightarrow{n_2}=(2;-1;-1)$, tích vô hướng $2-1-1=0$ nên hai mặt phẳng vuông góc → Đúng.
b) Trung điểm $M(0;3;-1)$, $\overrightarrow{AB}=(-4;-2;-4)\parallel (2;1;2)$. Mặt phẳng trung trực: $2(x-0)+(y-3)+2(z+1)=0\iff 2x+y+2z-1=0$ → Đúng.
c) Đường thẳng AB qua $A(2;4;1)$ với VTCP $(2;1;2)$; với $t=-2$ ta được $B(-2;2;-3)$ → Đúng.
d) $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{n_P}|}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{n_P}|}=\frac{|-4-2-4|}{6\sqrt{3}}=\frac{5}{3\sqrt{3}}\approx 0.9623$, suy ra $\theta =\arcsin (0.9623)\approx 74.2^{\circ }\ne 74.3^{\circ }$ → Sai. Khớp đáp án chính thức DDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=1\cdot 2+1\cdot (-1)+1\cdot (-1)=0$ nên $(P)\perp$ mặt phẳng đã cho.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M(0;3;-1)$, VTCP $\vec{u}=(2;1;2)$, phương trình $2x+y+2z-1=0$ thỏa mãn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $t=-2$: $(-2;2;-3)=B$, nên phương trình tham số đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \theta =\frac{10}{6\sqrt{3}}=\frac{5}{3\sqrt{3}}\approx 0.9623\Rightarrow \theta \approx 74.2^{\circ }$, không phải $74.3^{\circ }$.