Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P):4x+my+mz+1=0$ và $(Q):x-y-3=0$. Có bao nhiêu giá trị của $m$ sao cho góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $60^{\circ }$?

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P):4x+my+mz+1=0$ và $(Q):x-y-3=0$ có pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_P}=(4;m;m)$ và $\overrightarrow{n_Q}=(1;-1;0)$. Góc giữa hai mặt phẳng bằng $60^{\circ }$ nên $$\cos 60^{\circ }=\frac{|4\cdot 1+m\cdot (-1)+m\cdot 0|}{\sqrt{16+2m^2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}.$$ Suy ra $|4-m|=\frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{16+2m^2}=\sqrt{8+m^2}$. Bình phương hai vế: $(4-m{)}^2=8+m^2\iff 16-8m+m^2=8+m^2\iff 8m=8\iff m=1$. Thử lại với $m=1$: $\cos \phi =\frac{|4-1|}{\sqrt{18}\cdot \sqrt{2}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, thỏa mãn. Vậy chỉ có đúng 1 giá trị của $m$ thỏa mãn, chọn đáp án A.