Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x+1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+3{)}^2=14$ và điểm $M(-1;-3;-2)$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $(S)$ là $I(-1;-2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{14}$. Ta có $IM=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+1^2}=\sqrt{2}<\sqrt{14}$ nên $M$ nằm trong mặt cầu. Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ cắt $(S)$ theo đường tròn bán kính nhỏ nhất khi khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ lớn nhất, tức $(P)\perp IM$ và $d(I,(P))=IM=\sqrt{2}$. Mặt phẳng $y-z+1=0$ qua $M$ (vì $-3+2+1=0$) và có pháp tuyến $(0;1;-1)$ cùng phương với $\overrightarrow{IM}=(0;-1;1)$; khoảng cách $d(I,(P))=\frac{|-2+3+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, bán kính đường tròn $r=\sqrt{14-2}=\sqrt{12}$ nhỏ nhất. Vậy a, b, d đúng; c sai vì $IM=\sqrt{2}\ne 2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(x+1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+3{)}^2=14$, tâm là $I(-1;-2;-3)$, $R=\sqrt{14}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{0+1+1}=\sqrt{2}<\sqrt{14}=R$ nên $M$ nằm trong mặt cầu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$IM=\sqrt{2}$, không bằng 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính giao tuyến nhỏ nhất khi $d(I,(P))$ lớn nhất $=IM=\sqrt{2}$, tức $(P)\perp \overrightarrow{IM}$. Mặt phẳng $y-z+1=0$ qua $M$, pháp tuyến $(0;1;-1)\parallel \overrightarrow{IM}=(0;-1;1)$, và $d(I,(P))=\frac{|-2+3+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$, nên $r=\sqrt{14-2}=\sqrt{12}$ nhỏ nhất. Đúng.