Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0$ và điểm $A(5;3;-2)$. Một đường thẳng $d$ thay đổi luôn đi qua $A$ và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M$, $N$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;1)$, bán kính $R=3$ (vì $R^2=4+1+1+3=9$). Điểm $A(5;3;-2)$ với $AI=\sqrt{3^2+4^2+3^2}=\sqrt{34}>3$ nên $A$ nằm ngoài mặt cầu. Gọi $AM=x$, $AN=y$ với $x<y$; theo phương tích của điểm $A$ đối với mặt cầu: $x\cdot y=A{I}^2-R^2=34-9=25$, suy ra $y=\frac{25}{x}$. Vì $x<y$ nên $x^2<25$, tức $x<5$. Do $d$ cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt, $x\in \left(\sqrt{34}-3;5\right)$ (cận dưới $\sqrt{34}-3$ ứng với dây đi qua tâm, cận trên 5 chỉ đạt khi $d$ là tiếp tuyến, không xảy ra). Khi đó $S=AM+4AN=x+\frac{100}{x}$. Hàm $f(x)=x+\frac{100}{x}$ giảm trên $(0;10)$, nên trên khoảng $\left(\sqrt{34}-3;5\right)$ ta có $S>f(5)=5+\frac{100}{5}=25$. Giá trị $25$ không đạt được (vì $d$ không thể là tiếp tuyến), nhưng $S$ có thể gần $25$ tùy ý khi $d$ tiến tới vị trí tiếp tuyến. Vậy inf $S=25$, không tồn tại giá trị nhỏ nhất đạt được; nếu làm tròn theo cận infimum thì kết quả là $25,0$.