Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu $(S)$: $x^2+y^2+z^2-4x+2y-2z-3=0$ và điểm $A(5;3;-2)$. Một đường thẳng $d$ thay đổi luôn đi qua $A$ và luôn cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt $M$, $N$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=AM+4AN$ là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng mười)?

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;1)$, bán kính $R=3$ (vì $R^2=4+1+1+3=9$). Điểm $A(5;3;-2)$ ngoài mặt cầu với $AI=\sqrt{34}\approx 5,83$.

Với đường thẳng $d$ qua $A$ cắt $(S)$ tại hai điểm, gọi $x\le y$ là hai khoảng cách từ $A$ đến giao điểm gần và xa. Theo định lý phương tích: $x\cdot y=A{I}^2-R^2=34-9=25$.

Tham số hóa: khoảng cách từ $I$ đến $d$ là $h\in [0;3)$, khi đó $x=\sqrt{34-h^2}-\sqrt{9-h^2}$, $y=\sqrt{34-h^2}+\sqrt{9-h^2}$. Khi $h=0$ (đường kính qua $I$): $x=\sqrt{34}-3\approx 2,83$, $y=\sqrt{34}+3\approx 8,83$; khi $h\to 3$ (tiệm cận tiếp tuyến): $x,y\to 5$. Vậy $x\in [\sqrt{34}-3;5)$, $y\in (5;\sqrt{34}+3]$.

Vì $M,N$ chỉ là hai giao điểm (không phân biệt tên), để $S=AM+4AN$ nhỏ nhất ta gán $M$ là điểm xa, $N$ là điểm gần: $S=y+4x=y+\frac{100}{y}$ (do $xy=25$).

Hàm $f(y)=y+\frac{100}{y}$ có $f^{\prime }(y)=1-\frac{100}{y^2}<0$ trên $(0;10)$, nên trên $(5;\sqrt{34}+3]$ hàm nghịch biến, giá trị nhỏ nhất đạt tại $y=\sqrt{34}+3$ (tức $d$ là đường kính qua $I$):
$$S_{\min }=(\sqrt{34}+3)+\frac{100}{\sqrt{34}+3}=(\sqrt{34}+3)+4(\sqrt{34}-3)=5\sqrt{34}-9\approx 20,1548.$$
Trường hợp gán ngược ($AM$ gần, $AN$ xa) cho $S=x+\frac{100}{x}\to 25$ khi $x\to 5^{-}$, lớn hơn $20,15$, nên không tối ưu.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $S$ là $5\sqrt{34}-9\approx 20,2$ (làm tròn đến hàng mười).