Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):ax+by+cz-27=0$ qua hai điểm $A(3;2;1)$ và $B(-3;5;2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):3x+y+z+4=0$. Tính tổng $S=a+b+c$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(a;b;c)$. Vì $(P)$ qua $A(3;2;1)$, $B(-3;5;2)$ nên $3a+2b+c=27$ và $-3a+5b+2c=27$. Vì $(P)\perp (Q)$ với $(Q):3x+y+z+4=0$ nên $3a+b+c=0$. Trừ hai phương trình đầu: $6a-3b-c=0\Rightarrow c=6a-3b$. Thay vào $3a+b+c=0$: $9a-2b=0\Rightarrow b=\frac{9a}{2}$, suy ra $c=-\frac{15a}{2}$. Thay vào $3a+2b+c=27$: $3a+9a-\frac{15a}{2}=\frac{9a}{2}=27\Rightarrow a=6$, khi đó $b=27$, $c=-45$. Vậy $S=a+b+c=6+27-45=-12$.