Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;0)$, $B(3;4;1)$, $D(-1;3;2)$. Tìm tọa độ điểm $C$ sao cho $ABCD$ là hình thap có hai cạnh đáy $AB$, $CD$ và có góc $C$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thang có hai cạnh đáy $AB$, $CD$ nên $\overrightarrow{CD}\parallel \overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(2;2;1)$. Kiểm tra các đáp án, chỉ có $C(3;7;4)$ thỏa: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{C}=(-4;-4;-2)=-2(2;2;1)$, tức $CD\parallel AB$ với $CD=2AB=6$. Góc $C$ của hình thang là góc giữa $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CD}$: $\overrightarrow{CB}=(0;-3;-3)$, $\overrightarrow{CD}=(-4;-4;-2)$. Tích vô hướng $=0+12+6=18$; $|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{CD}|=\sqrt{36}=6$. Vậy $\cos C=\frac{18}{3\sqrt{2}\cdot 6}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra góc $C=45^{\circ }$. Các đáp án khác cho góc khác $45^{\circ }$ (A, B cho $\cos C=\frac{2}{\sqrt{5}}$; D cho góc $90^{\circ }$).