Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;-2;1)$, $B(-2;2;1)$, $C(1;-2;2)$. Hỏi đường phân giác trong góc $A$ của tam giác $ABC$ cắt mặt phẳng $(Oyz)$ tại điểm nào sau đây?

Ta tính độ dài các cạnh $AB,AC$:
$\overrightarrow{AB}=(-3;4;0)⟹AB=\sqrt{(-3{)}^2+4^2+0^2}=5$.
$\overrightarrow{AC}=(0;0;1)⟹AC=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1$.
Gọi $D$ là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh $A$ xuống cạnh $BC$.
Theo tính chất đường phân giác:
$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=5⟹\overrightarrow{DB}=-5\overrightarrow{DC}⟺D=\frac{B+5C}{6}$.
$x_D=\frac{-2+5(1)}{6}=\frac{1}{2}$, $y_D=\frac{2+5(-2)}{6}=-\frac{4}{3}$, $z_D=\frac{1+5(2)}{6}=\frac{11}{6}$.
Đường thẳng phân giác trong $AD$ đi qua $A(1;-2;1)$ và nhận $\vec{u}=6\overrightarrow{AD}=6\left(-\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{5}{6}\right)=(-3;4;5)$ làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số của đường thẳng $AD$:
$\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=-2+4t\\ z=1+5t\end{array}$
Đường thẳng $AD$ cắt mặt phẳng $(Oyz)$ ($x=0$) tại điểm ứng với:
$1-3t=0⟺t=\frac{1}{3}$.
Thay $t=\frac{1}{3}$ vào tọa độ điểm ta được:
$y=-2+4\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}$, $z=1+5\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}$.
Vậy giao điểm có tọa độ là $\left(0;-\frac{2}{3};\frac{8}{3}\right)$.