Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một trạm kiểm soát không gian trên Trái Đất cần tính toán vị trí của một vệ tinh viễn thông $S$ đang di chuyển trong không gian. Vệ tinh này truyền tín hiệu đến ba trạm thu sóng trên mặt đất có tọa độ $A(3;-2;5)$, $B(-1;4;-3)$, $C(6;1;2)$. Vệ tinh $S(x,y,z)$ luôn nằm trên một mặt cầu cố định do ảnh hưởng của từ trường hấp dẫn. Phương trình mặt cầu mô tả quỹ đạo vệ tinh là $(T):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=1$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng (ABC): AB=(-4;6;-8), AC=(3;3;-3), n=AB×AC=(6;-12;-30)∝(1;-2;-5). Mặt phẳng: x-2y-5z+18=0. Mặt cầu (T) tâm I(1;-2;3), R=1. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng: d=|1+4-15+18|/√30=8/√30≈1,4606.
a) Sai: Khoảng cách nhỏ nhất từ S đến mặt phẳng là d-R=8/√30-1≈0,4606. Điểm S gần nhất là I+R·n̂ với n̂=(1;-2;-5)/√30, khi đó sinθ=d(S,(ABC))/SA≈0,4606/3,4527≈0,1334 nên θ≈7,7°>1°.
b) Sai: Vecto pháp tuyến của (ABC) là (1;-2;-5), không phải (1;6;-5) (thay A vào mặt phẳng với n=(1;6;-5): 3-12-25+d=0 cho d=34, nhưng B: -1+24+15+d=0 cho d=-38, mâu thuẫn).
c) Sai: Đường thẳng d: (5+2t;-3-t;2+4t). Khoảng cách từ I đến d: IP=(4;-1;-1), IP×u=(-5;-18;-2), |IP×u|=√353, |u|=√21, dist=√(353/21)≈4,10>1=R nên đường thẳng không cắt mặt cầu, tàu không vào vùng quỹ đạo.
d) Đúng: Khoảng cách lớn nhất từ S đến mặt phẳng là d+R=8/√30+1≈2,46>2.
a) (AI giải đề cho tôi)
θ≈7,7°>1° vì sinθ=(8/√30-1)/SA≈0,1334.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vecto pháp tuyến thực tế là (1;-2;-5).
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ≈4,10>1 nên không cắt mặt cầu.
d) (AI giải đề cho tôi)
d_max=8/√30+1≈2,46>2.