Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x+3y+z+2=0$. Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của $(P)$?

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(-2\le x\le 2)$, biết mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là $\sqrt{4-x^2}$. Thể tích của vật thể đã cho bằng

Cho hình lập phương $ABCD.A_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Mức thưởng Tết cho các nhân viên của 2 tổ tại một công ty được thống kê trong bảng sau:



Gọi $R_1;R_2$ tương ứng là khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về mức thưởng Tết của các nhân viên Tổ A và Tổ B. Chọn phương án đúng trong các phương án dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình vuông. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ có phương trình: $x^2+y^2+z^2-4x+2z+4=0$.

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}(x-1)>-2$ là.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một trạm kiểm soát không gian trên Trái Đất cần tính toán vị trí của một vệ tinh viễn thông $S$ đang di chuyển trong không gian. Vệ tinh này truyền tín hiệu đến ba trạm thu sóng trên mặt đất có tọa độ $A(3;-2;5)$, $B(-1;4;-3)$, $C(6;1;2)$. Vệ tinh $S(x,y,z)$ luôn nằm trên một mặt cầu cố định do ảnh hưởng của từ trường hấp dẫn. Phương trình mặt cầu mô tả quỹ đạo vệ tinh là $(T):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=1$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho hàm số $f(x)=4\sin x+2x$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Điểm kiểm tra cuối kì môn Toán của một học sinh phụ thuộc vào việc học sinh đó có chăm chỉ làm bài tập về nhà hay không. Nếu bạn An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán thì xác suất đạt điểm tốt kiểm tra cuối kì là 0,9. Còn nếu bạn An không chăm chỉ làm bài tập về nhà thì xác suất đạt điểm không tốt kiểm tra cuối kì là 0,85. Xác suất An chăm chỉ làm bài tập về nhà môn Toán là 0,75. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 100 ngày. Gọi $M(t)$ là số ngày công được tính đến hết ngày thứ $t$ (kể từ khi khởi công công trình). Biết trong kinh tế xây dựng $M^{\prime }(t)=m(t)$ là số lượng công nhân được sử dụng tại ngày thứ $t$, giả sử $m(t)=100+12\sqrt{t}-2t$ (với $0\le t\le 100$). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai lớp kính lần lượt là hai mặt phẳng có phương trình
$$\{\begin{array}{l}(\alpha ):2x-2y-z+3\sqrt{3}=0\\ (\beta ):-4x+4y+2z+12\sqrt{3}=0\end{array}$$
. Một nguồn sáng được chiếu vào hai tấm kính là tập hợp các đường thẳng có vecto chỉ phương là $\vec{u}=(1;1;1)$ và đi qua các điểm $M(3;0;0),N(1;1;1)$ và $P(3;5;-5)$. Biết rằng các giao điểm của các đường thẳng nói trên với hai tấm kính $(\alpha )$ và $(\beta )$ là 6 đỉnh của một khối đa diện. Thể tích $V$ của khối đa diện tạo bởi 6 điểm đó có kết quả là $a\sqrt{b}$ với $a,b$ nguyên dương và $b$ là số nguyên tố. Tính giá trị của $a+b$.

Một trò chơi điện tử quy định như sau: Có sáu trụ $A,B,C,D,E,F$ với số lượng các thứ thạch trên đường đi giữa các cặp trụ được mô tả như trong hình vẽ. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó, đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay trở lại trụ đó được nữa, nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thứ thạch của đường đi thỏa mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Có hai hộp. Hộp I có 7 quả cầu màu xanh và còn lại là quả cầu màu vàng. Hộp II có 8 quả cầu màu xanh và 5 quả cầu màu vàng. Trước tiên lấy ra ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp I rồi thả vào hộp II. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên một quả cầu từ hộp II. Xác suất để quả cầu lấy ra là quả màu vàng là $\frac{95}{238}$. Tính số quả cầu trong hộp I.

Trước sự phát triển của ngành vật liệu bán dẫn, anh Khoa mở nhà máy sản xuất vi mạch với thiết kế của vi mạch có dạng hình chữ nhật có kích thước $a(\mathrm{pm})\times b(\mathrm{pm})$ với $1\mathrm{pm}=10^{-12}\mathrm{m}$. Biết rằng chi phí để sản xuất vi mạch bao gồm 50 (triệu đồng) chi phí cho nguyên vật liệu ban đầu, 15 (triệu đồng)/1pm chi phí gia công lắp mảng Silic xung quanh thành vi mạch (xem như độ dày khi gia công là không đáng kể) và 32 (triệu đồng)/$1{\mathrm{pm}}^2$ tiền gia công phủ chất làm mát bao quanh cả 2 bề mặt vi mạch (xem như cả bề mặt là hình chữ nhật có kích thước như trên). Biết rằng đơn giá bán ra mỗi chiếc vi mạch là 428 (triệu đồng/${\mathrm{pm}}^2$) và nếu cả 2 kích thước thành phần của vi mạch giảm đi 15 pm thì lợi nhuận thu được mỗi chiếc bằng chi phí sản xuất của mỗi chiếc vi mạch đó. Khi lợi nhuận đạt giá trị nhỏ nhất thì chu vi của vi mạch là bao nhiêu pm. (Kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất).

Để trang trí một ô hình chữ nhật với kích thước $80cm\times 60cm$ trên tường căn phòng của mình, anh Bình đã tô màu 2 hoạ tiết giới hạn bởi các parabol $(P)$, parabol $(C)$ và các cạnh của ô chữ nhật bằng màu vàng (ki hiệu sọc nghiêng) và màu xanh (vùng tô đậm) (như hình vẽ). Biết rằng các parabol $(P)$ và $(C)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $AB$ và diện tích phần màu vàng bằng $\frac{1600}{3}\left(c{m}^2\right)$. Tính tổng số tiền (đơn vị: triệu đồng) mà anh Bình cần phải trả để mua sơn trang trí. Biết mỗi lọ sơn, sơn được tối đa $30c{m}^2$. Cho biết giá của một lọ sơn vàng là 50.000 đồng, giá của một lọ sơn xanh là 30.000 đồng (biết rằng mỗi lọ sơn không được bán lẻ).

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 2. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$. Biết hai mặt phẳng $(SDM)$ và $(SCN)$ cùng vuông góc với $\mathrm{mp}(ABCD)$, đồng thời khoảng cách giữa $DM$ và $SC$ bằng $\frac{12}{7}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu?