Cho $\tan \alpha =\frac{2b}{a-c}$. Giá trị của biểu thức $A=a{\cos }^2\alpha +2b\sin \alpha \cos \alpha +c{\sin }^2\alpha$ là

Trong một căn phòng, người ta trang trí một bóng đèn LED có thể di chuyển trên một thanh sắt. Một đầu được treo cách trần nhà $0,7m$ và cách từng bức tường vuông góc với nhau lần lượt là $0,2m$ và $1,5m$. Đầu còn lại treo cách trần nhà $0,6m$, cách hai bức tường là $1,8m$ và $1,3m$. Hãy tính độ dài của thanh sắt đó. (Làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).

Cho hình hộp đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, trong đó mặt đáy là hình bình hành với $\widehat{DAB}=120^{\circ }$. Biết độ dài các cạnh $AB=25cm,AD=12cm$ và $A{A}^{\prime }=12cm$. Tính ${\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\right|}^2$.

Cho hai điểm $A$, $B$ thuộc đồ thị hàm số $y=\sin x$ trên đoạn $[0;\pi ]$. Các điểm $C$, $D$ thuộc trục $Ox$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật và $CD=\frac{2\pi }{3}$.



Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ bằng

Cho $a$, $b$ là hai số nguyên dương lớn hơn 1. Biết phương trình $a^{x^2+1}=b^x$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ và phương trình $b^{x^2-1}=(9a{)}^x$ có hai nghiệm phân biệt $x_3$, $x_4$ thỏa mãn $(x_1+x_2)(x_3+x_4)<3$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=3a+2b$ bằng

Gọi $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=x-1+\frac{4}{x-1}$ trên khoảng $(1;+\infty )$ tại điểm $x_0$. Giá trị của $T=m{x}_0$ bằng:

Cho một đa giác đều gồm $2n$ đỉnh $(n\ge 2,n\in \mathbb{N})$. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số $2n$ đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là $\frac{1}{5}$. Tìm $n$

Cho đa giác đều có 2024 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn $100^{\circ }$

Cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-10}{x-1}=5$. Giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-10}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{4f(x)+9}+3\right)}$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=4,AD=2$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Lấy các điểm $M$ và $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{NS}+4\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Giá trị của ${\cos }^2\alpha$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-3)$, $B(4;0;5)$, $C(2;0;1)$. Gọi $M$ là điểm bất kì sao cho biểu thức $P=2M{A}^2+3M{B}^2-M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị nhỏ nhất đó bằng

Cân nặng của một số quả mít trong một khu vườn được thống kê ở bảng sau:



Tìm tần số $x$ biết phương sai là $s^2=4,8016$.

Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Giá trị tích vô hướng $\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right)$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(x^3-3x^2+2\right)=m^2-3m$ có nghiệm thuộc đoạn $[1;3]$.

Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau, xuất phát cùng thời điểm. Một con bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ điểm $A(0;100)$ đến điểm $O(0;0)$ với vận tốc 5 m/s. Con còn lại bay trên quỹ đạo là đường thẳng từ $B(60;80)$ đến điểm $O(0;0)$ với vận tốc 10 m/s như hình vẽ minh họa. Đặt $f(t)$ là khoảng cách mà hai con chuồn chuồn bay được sau thời gian $t$ (giây), $t\in [0;10]$. Biết $\underset{t\to 5^{-}}{\lim }\frac{f(t)-5\sqrt{85}}{t^2-25}=-\frac{a\sqrt{b}}{c}$, trong đó $a,b,c\in {\mathbb{Z}}^{+}$ và phân số $\frac{a}{c}$ tối giản. Giá trị của biểu thức $P=4a^2-b+c$ bằng?

Câu 1. Cho tập hợp $A=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$. $B$ là tập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ $A$ có dạng $\overline{abcd}$. $C$ là tập tất cả các số tự nhiên gồm 8 chữ số đôi một khác nhau lấy từ $A$.

Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=2a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề dưới đây?

Câu 3. Khi chuyển động trong không gian, máy bay luôn chịu tác động của bốn lực chính: lực đẩy của động cơ, lực cản của không khí, trọng lực và lực nâng khí động học (hình ảnh bên dưới)

Lực cản của không khí ngược hướng với lực đẩy của động cơ và có độ lớn tỉ lệ thuận với bình phương vận tốc máy bay. Một chiếc máy bay tăng vận tốc từ $900km/h$ lên $920km/h$, trong quá trình tăng tốc máy bay giữ nguyên hướng bay. Lực cản của không khí khi máy bay đạt vận tốc $900km/h$ và $920km/h$ lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=f(x)=\log x$.

Thầy giáo thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp $12C_1$ và $12C_2$ ở bảng sau:

Một công ty chuyên về mua bán xe ô tô đã qua sử dụng, sau khi khảo sát thị trường trong thời gian 06 tháng đã đưa ra công thức chung về giá trị còn lại của ô tô 4 chỗ kể từ khi đưa vào sử dụng (các loại xe 4 chỗ không sử dụng mục đích kinh doanh) được tính $P(t)=A{\left(\frac{3}{4}\right)}^{\frac{t}{4}}$. Trong đó $A$ là giá tiền ban đầu mua xe (triệu đồng), $t$ là số năm kể từ khi đưa vào sử dụng. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Tìm tất cả các số nguyên $n\ne 0$ để hàm số $y=f(x)=\cos (nx+2024\pi )\cos \left(\frac{10x-2025n\pi }{2n}\right)$ là hàm số tuần hoàn chu kỳ $3\pi$.

Trong lĩnh vực thủy lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thủy động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là $S$, $\ell$ là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này, $\ell$ - đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương được gọi là có dạng thủy động học nếu với $S$ xác định, $\ell$ là nhỏ nhất).



Gọi $x$, $y$ lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương. Khi mương dẫn nước đủ điều kiện dạng "Thủy động học" (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật). Tính tỉ số $\frac{x}{y}$?

Hai cầu thủ Công Phượng và Quang Hải sút phạt độc lập nhau, mỗi người sút phạt 1 lần với xác suất thành công của Công Phượng và Quang Hải lần lượt là $x,y$ $(0<x,y<1)$. Biết xác suất để có ít nhất một cầu thủ sút phạt thành công gấp hai lần xác suất cả hai cầu thủ cùng sút phạt thành công. Xác suất để cả hai cầu thủ sút phạt thành công có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu (kết quả lấy gần đúng đến hàng phần trăm)?

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện $\left(x^2+y^2+5\right)+{\log }_2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)={\left(\frac{xy}{2}-2\right)}^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+9y$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, $SA=2$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ là hai điểm thay đổi trên hai cạnh $AB,AD$ sao cho mặt phẳng $(SMC)$ vuông góc với mặt phẳng $(SNC)$. Khi thể tích khối chóp $S.AMCN$ đạt giá trị lớn nhất thì $\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{N}^2}=\frac{a}{b}$, $a$ và $b$ nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $a+2b$.

Cho hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình thang $AB\parallel CD,AB=2CD$. Gọi $(P)$ là một mặt phẳng tùy ý không đi qua $S$ và cắt các cạnh $SA,SB,SC,SD$ lần lượt tại các điểm $M,N,P,Q$ thỏa mãn $\overrightarrow{SA}=2\overrightarrow{SM}$, $\overrightarrow{SC}=5\overrightarrow{SP}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=2{\left(\frac{SB}{SN}\right)}^2+{\left(\frac{SD}{SQ}\right)}^2$.