Cho $a$, $b$ là hai số nguyên dương lớn hơn 1. Biết phương trình $a^{x^2+1}=b^x$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ và phương trình $b^{x^2-1}=(9a{)}^x$ có hai nghiệm phân biệt $x_3$, $x_4$ thỏa mãn $(x_1+x_2)(x_3+x_4)<3$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=3a+2b$ bằng

(AI giải đề cho tôi)
Lấy logarit hai vế. Phương trình $a^{x^2+1}=b^x$ tương đương $x^2\ln a-x\ln b+\ln a=0$, có hai nghiệm phân biệt khi $(\ln b{)}^2>4(\ln a{)}^2$, tức $b>a^2$ (vì $a,b>1$). Theo Vi-ét: $x_1+x_2=\frac{\ln b}{\ln a}$. Phương trình $b^{x^2-1}=(9a{)}^x$ tương đương $x^2\ln b-x\ln (9a)-\ln b=0$, hai nghiệm phân biệt khi $(\ln (9a){)}^2+4(\ln b{)}^2>0$ (luôn đúng), và $x_3+x_4=\frac{\ln (9a)}{\ln b}$. Điều kiện $(x_1+x_2)(x_3+x_4)<3$ cho $\frac{\ln (9a)}{\ln a}<3\Rightarrow 9a<a^3\Rightarrow a>3\Rightarrow a\ge 4$. Với mỗi $a$, $b$ nguyên nhỏ nhất thỏa $b>a^2$ là $b=a^2+1$, khi đó $S=3a+2(a^2+1)=2a^2+3a+2$ tăng theo $a\ge 4$, nhỏ nhất tại $a=4$: $b=17$, $S=12+34=46$. Kiểm tra: $17>16$ đúng, hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt. Vậy $S_{\min }=46$.