Gọi $S$ là tập các số thực $(x;y)$ sao cho $x\in (0;+\infty )$ và ${\left(2^x+\frac{1}{2^x}\right)}^y={\left(2^y+\frac{1}{2^y}\right)}^x$. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=e^y+\cos y-2-2x+\frac{x^2}{2}$ với $(x;y)\in S$ đạt được tại $(x_0;y_0)$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Lấy ln hai vế: $y\ln (2^x+2^{-x})=x\ln (2^y+2^{-y})$, tức $\frac{\ln (2^x+2^{-x})}{x}=\frac{\ln (2^y+2^{-y})}{y}$ (với mẫu khác 0; trường hợp $x=y$ luôn thỏa). Đặt $f(t)=\frac{\ln (2^t+2^{-t})}{t}$, thì $f$ là hàm lẻ. Với $t>0$: $f^{\prime }(t)=\frac{t\ln 2\cdot \frac{2^t-2^{-t}}{2^t+2^{-t}}-\ln (2^t+2^{-t})}{t^2}$. Ta có $f$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$ (ví dụ $f(0,5)\approx 2,079>f(1)\approx 0,916>f(2)\approx 0,723$; nghiệm của $t\ln 2(2^t-2^{-t})=(2^t+2^{-t})\ln (2^t+2^{-t})$ chỉ tại $t=0$). Vì $f$ lẻ và nghịch biến trên $(0;+\infty )$ nên $f$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$, do đó $f$ là hàm đơn ánh: từ $f(x)=f(y)$ với $x>0$ suy ra $y=x$. Khi đó $P(x)=e^x+\cos x-2-2x+\frac{x^2}{2}$ trên $(0;+\infty )$. Có $P^{\prime }(x)=e^x-\sin x-2+x$ và $P^{\prime \prime }(x)=e^x-\cos x+1>0$ với mọi $x>0$, nên $P^{\prime }$ đồng biến. Vì $P^{\prime }(0)=1-0-2=-1<0$ và $P^{\prime }(1)=e-\sin 1-1\approx 0,877>0$, phương trình $P^{\prime }(x)=0$ có nghiệm duy nhất $x_0\in (0;1)$, là điểm đạt GTNN của $P$. Vậy đáp án B.