Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=4,AD=2$. Đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$. Lấy các điểm $M$ và $N$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{NS}+4\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SAC)$. Giá trị của ${\cos }^2\alpha$ là

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(4,0,0), D(0,2,0), C(4,2,0), S(0,0,h). Góc giữa (SCD) và đáy là góc SDC (vì AD⊥CD, SA⊥CD): tan∠SDC = h/AD = h/2 = tan45° ⇒ h = 2, S(0,0,2).

MA→ + 3MB→ = 0 ⇒ 5... thực tế A + 3B = 4M ⇒ M(3,0,0). NS→ + 4ND→ = 0 ⇒ 5N = S + 4D ⇒ N(0, 8/5, 2/5).

MN→ = (−3, 8/5, 2/5), |MN|² = 9 + 64/25 + 4/25 = 293/25.

Vecto pháp tuyến của (SAC): AC→×AS→ = (4,2,0)×(0,0,2) = (4,−8,0), lấy n = (1,−2,0), |n| = √5.

MN→·n = −3 − 16/5 = −31/5 ⇒ sin²α = (961/25)/(5·293/25) = 961/1465 ⇒ cos²α = 1 − 961/1465 = 504/1465.