Cho một đa giác đều gồm $2n$ đỉnh $(n\ge 2,n\in \mathbb{N})$. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số $2n$ đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là $\frac{1}{5}$. Tìm $n$

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi cạnh huyền là đường kính, tức ba đỉnh chứa một cặp đỉnh đối diện. Đa giác đều $2n$ đỉnh có $n$ cặp đỉnh đối diện; với mỗi cặp, đỉnh thứ ba chọn từ $2n-2$ đỉnh còn lại, nên số tam giác vuông là $n(2n-2)$. Tổng số tam giác là $C_{2n}^3=\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}=\frac{2n(2n-1)(n-1)}{3}$. Xác suất: $\frac{n(2n-2)}{C_{2n}^3}=\frac{2n(n-1)\cdot 3}{2n(2n-1)(n-1)}=\frac{3}{2n-1}=\frac{1}{5}\Rightarrow 2n-1=15\Rightarrow n=8$. Thử lại: $n=8$, tam giác vuông $=8\cdot 14=112$, tổng $C_{16}^3=560$, $112/560=1/5$ đúng.