Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng 2, $SA=2$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ là hai điểm thay đổi trên hai cạnh $AB,AD$ sao cho mặt phẳng $(SMC)$ vuông góc với mặt phẳng $(SNC)$. Khi thể tích khối chóp $S.AMCN$ đạt giá trị lớn nhất thì $\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{N}^2}=\frac{a}{b}$, $a$ và $b$ nguyên dương, $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $a+2b$.