Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện $\left(x^2+y^2+5\right)+{\log }_2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)={\left(\frac{xy}{2}-2\right)}^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+9y$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=xy>0$. Vì $x^2+y^2\ge 2xy=2t$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{2}{\sqrt{t}}$ nên từ điều kiện: $$2t+5+{\log }_2\frac{2}{\sqrt{t}}\le {\left(\frac{t}{2}-2\right)}^2.$$ Xét $f(t)={\left(\frac{t}{2}-2\right)}^2-2t-5-{\log }_2\frac{2}{\sqrt{t}}$. Ta có $f(16)=36-32-5-{\log }_2\frac{1}{2}=0$. Với $t<16$ (ví dụ $t=12,15$) thì $f(t)<0$, với $t>16$ thì $f(t)>0$ (vì $f^{\prime }(t)=t-6+\frac{1}{2t\ln 2}>0$ với $t\ge 16$ và $f$ âm với mọi $0<t<16$ do vế phải nhỏ hơn tổng các cận dưới). Vậy phương trình buộc $t=16$ và dấu bằng xảy ra khi $x=y=4$ (kiểm tra: $16+16+5+{\log }_2\frac{1}{2}=36=(8-2{)}^2$ đúng). Do đó $P=x+9y$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=y=4$: $P_{\min }=4+36=40$.