Tìm tất cả các số nguyên $n\ne 0$ để hàm số $y=f(x)=\cos (nx+2024\pi )\cos \left(\frac{10x-2025n\pi }{2n}\right)$ là hàm số tuần hoàn chu kỳ $3\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $\cos (nx+2024\pi )=\cos nx$; $\cos \left(\frac{10x-2025n\pi }{2n}\right)=\cos \left(\frac{5x}{n}-\frac{2025\pi }{2}\right)$. Vì $\frac{2025\pi }{2}=1012\pi +\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \left(\frac{5x}{n}-\frac{2025\pi }{2}\right)=\sin \frac{5x}{n}$. Do đó $f(x)=\cos (nx)\sin \left(\frac{5x}{n}\right)=\frac{1}{2}\left[\sin \left(\left(n+\frac{5}{n}\right)x\right)+\sin \left(\left(\frac{5}{n}-n\right)x\right)\right]$. Để $3\pi$ là chu kỳ (và là chu kỳ cơ bản) cần tồn tại nguyên $k,m$ sao cho $\left(n+\frac{5}{n}\right)3\pi =2k\pi$ và $\left(\frac{5}{n}-n\right)3\pi =2m\pi$. Cộng, trừ hai đẳng thức: $\frac{30}{n}=2(k+m)\Rightarrow n=\frac{15}{k+m}$ và $6n=2(k-m)\Rightarrow n=\frac{k-m}{3}$. Đặt $p=k+m$, thì $k-m=\frac{45}{p}$, với $p$ là ước dương của 45: $p\in \{1;3;5;9;15;45\}$ cho $n=\frac{k-m}{3}=\frac{45}{3p}=\frac{15}{p}\in \{15;5;3;1\}$. Kiểm tra chu kỳ cơ bản của $f(x)=\frac{1}{2}[\sin (ax)+\sin (bx)]$ với $a=n+\frac{5}{n}$, $b=\frac{5}{n}-n$: chu kỳ cơ bản là $T$ nhỏ nhất để $aT,bT\in 2\pi \mathbb{Z}$. - $n=1$: $a=6,b=4\Rightarrow$ chu kỳ cơ bản $\pi \ne 3\pi$ (loại). - $n=5$: $a=6,b=-4\Rightarrow$ chu kỳ cơ bản $\pi \ne 3\pi$ (loại). - $n=3$: $a=\frac{14}{3},b=-\frac{4}{3}\Rightarrow T=\frac{3\pi k}{7}=\frac{3\pi m}{2}\Rightarrow 2k=7m\Rightarrow k=7,m=2,T=3\pi$ (nhỏ nhất, thỏa). - $n=15$: $a=\frac{46}{3},b=-\frac{44}{3}\Rightarrow \frac{23k}{23}=\frac{22m}{22}$, tức $22k=23m\Rightarrow k=23,m=22,T=3\pi$ (nhỏ nhất, thỏa). Vậy $n\in \{3;15\}$.