Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng 2. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$. Biết hai mặt phẳng $(SDM)$ và $(SCN)$ cùng vuông góc với $\mathrm{mp}(ABCD)$, đồng thời khoảng cách giữa $DM$ và $SC$ bằng $\frac{12}{7}$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0)$, $M(1,0,0),N(0,1,0)$. Vì $(SDM)\perp (ABCD)$ và $(SDM)$ chứa $DM\subset (ABCD)$ nên mặt $(SDM)$ là mặt phẳng thẳng đứng trên đường thẳng $DM$, tức hình chiếu của $S$ xuống đáy nằm trên $DM$; tương tự nằm trên $CN$. Giao của $DM$ ($y=2-2x$) và $CN$ ($y=1+\frac{x}{2}$): $x=\frac{2}{5},y=\frac{6}{5}$. Vậy $H=(\frac{2}{5},\frac{6}{5},0)$, $S=(\frac{2}{5},\frac{6}{5},h)$. Khoảng cách giữa $DM$ (vt $u=(1,-2,0)$) và $SC$ (vt $v=(\frac{8}{5},\frac{4}{5},-h)$): $u\times v=(2h,h,4)$, $\overrightarrow{DC}\cdot (u\times v)=4h$, nên $d=\frac{4h}{\sqrt{5h^2+16}}=\frac{12}{7}$. Suy ra $784h^2=144(5h^2+16)\Rightarrow 64h^2=2304\Rightarrow h=6$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 2^2\cdot 6=8$.