Trong mặt phẳng $Oxy$, viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua hai điểm $A(2;1)$, $B(1;1)$ và có tâm nằm trên đường thẳng $d:2x+y-3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm $I(a;b)$ thuộc $d:2a+b-3=0$. Vì $(C)$ đi qua $A(2;1)$ và $B(1;1)$ nên $IA=IB$, tức $I$ nằm trên trung trực của $AB$. Trung điểm của $AB$ là $M\left(\frac{3}{2};1\right)$; vì $AB$ nằm ngang (cùng tung độ 1) nên trung trực của $AB$ là đường thẳng $x=\frac{3}{2}$. Suy ra $a=\frac{3}{2}$, thay vào phương trình $d$: $2\cdot \frac{3}{2}+b-3=0\Rightarrow b=0$. Vậy $I\left(\frac{3}{2};0\right)$. Bán kính $R=IA=\sqrt{{\left(2-\frac{3}{2}\right)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, nên $R^2=\frac{5}{4}$. Phương trình đường tròn: ${\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+y^2=\frac{5}{4}$, hay $x^2+y^2-3x+1=0$. Kiểm tra: $A(2;1)$: $4+1-6+1=0$ đúng; $B(1;1)$: $1+1-3+1=0$ đúng; tâm $\left(\frac{3}{2};0\right)$ thỏa $2\cdot \frac{3}{2}+0-3=0$ đúng.