Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ cho tam giác $ABC$ có $A(3;-4)$, $B(1;5)$, $C(3;1)$. Tính diện tích tam giác $ABC$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A(3;-4)$, $B(1;5)$, $C(3;1)$.

Tính các vectơ:
$$\overrightarrow{AB}=(1-3;5-(-4))=(-2;9),\overrightarrow{AC}=(3-3;1-(-4))=(0;5).$$

Diện tích tam giác $ABC$ được tính theo công thức tích có hướng:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|{\overrightarrow{AB}}_x\cdot {\overrightarrow{AC}}_y-{\overrightarrow{AB}}_y\cdot {\overrightarrow{AC}}_x\right|=\frac{1}{2}\left|(-2)(5)-(9)(0)\right|=\frac{1}{2}\left|-10\right|=5.$$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ bằng $5$ (đơn vị diện tích).

Kiểm tra lại: độ dài $AC=5$ (đoạn thẳng đứng từ $y=-4$ đến $y=1$), khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $x=3$ (chứa $AC$) là $|1-3|=2$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$. Kết quả khớp.