Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, viết phương trình đường thẳng đi qua $M(3;2)$ cắt tia $Ox$ tại $A$ và tia $Oy$ tại $B$ sao cho diện tích tam giác $OAB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(a;0)$, $B(0;b)$ với $a>3$, $b>2$ (vì đường thẳng cắt tia $Ox$, tia $Oy$ và đi qua $M(3;2)$ ở góc phần tư thứ nhất). Phương trình đường thẳng dạng đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Vì $M(3;2)$ thuộc đường thẳng nên $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}=1$.

Diện tích tam giác $OAB$: $S=\frac{1}{2}ab$. Từ điều kiện, $b=\frac{2a}{a-3}$, nên $S(a)=\frac{a}{2}\cdot \frac{2a}{a-3}=\frac{a^2}{a-3}=\frac{(a-3+3{)}^2}{a-3}=(a-3)+\frac{9}{a-3}+6\ge 2\sqrt{9}+6=12$, dấu bằng khi $a-3=3\iff a=6$ (thỏa $a>3$). Khi đó $b=\frac{2\cdot 6}{3}=4$, $S_{\min }=12$.

Vậy đường thẳng cần tìm: $\frac{x}{6}+\frac{y}{4}=1\iff 2x+3y-12=0$. Kiểm tra: $M(3;2)$: $6+6-12=0$ đúng; $A(6;0)$ trên tia $Ox$, $B(0;4)$ trên tia $Oy$; $S=\frac{6\cdot 4}{2}=12$ nhỏ nhất.