Trong một bể hình lập phương cạnh $1m$ có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành $ABCD$ và khoảng cách từ các điểm $A$, $C$ đến đáy bể tương ứng là $25cm$, $75cm$.

Tìm khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt đáy bể khi góc giữa mặt nước và mặt đáy bể đạt giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi h(x,y) là chiều cao mặt nước so với đáy bể; vì mặt nước là mặt phẳng nên h là hàm bậc nhất theo x, y. Do ABCD là hình bình hành (A, C đối nhau, B, D đối nhau) nên h_A + h_C = h_B + h_D, suy ra h_B + h_D = 25 + 75 = 100 (cm). Đặt h_B = t, h_D = 100 − t. Độ dốc mặt nước so với đáy: tanθ = √(α² + β²) với α = h_B − h_A = t − 25, β = h_D − h_A = 75 − t. Cần tìm t sao cho θ nhỏ nhất, tức f(t) = (t − 25)² + (75 − t)² nhỏ nhất. f'(t) = 2(t − 25) − 2(75 − t) = 4t − 200 = 0 ⟹ t = 50. Khi đó f = 625 + 625 = 1250, tanθ = √1250 ≈ 35,36 (θ ≈ 88,4°, giá trị nhỏ nhất có thể của góc nghiêng trong điều kiện bài toán, các mực nước 25, 50, 75 cm đều ≤ 100 cm nên hợp lệ). Vậy khoảng cách từ B đến đáy bể là 50 cm.