Trong một trò chơi bốc thăm trúng thưởng có luật chơi như sau: Ban tổ chức chuẩn bị hai hộp chứa các phiếu bốc thăm, hộp I có 10 phiếu đánh số từ 1 đến 10, hộp II có 15 phiếu đánh số từ 11 đến 25. Người chơi bốc 2 phiếu từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai người chơi bốc ra 5 phiếu. Nếu tổng bình phương các số trên phiếu bốc được từ hộp thứ hai là một số chia hết cho 4 thì trúng thưởng. Bạn Khánh An là người đầu tiên chơi

(AI giải đề cho tôi)
Cơ sở chung: với số nguyên $n$, $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nếu $n$ lẻ và $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ nếu $n$ chẵn. Do đó tổng bình phương của 5 phiếu bốc từ hộp II chia hết cho 4 khi và chỉ khi số phiếu lẻ trong 5 phiếu đó là 0 hoặc 4.

a) Nếu cả 5 phiếu đều chẵn thì số phiếu lẻ bằng 0, tổng bình phương chia hết cho 4 → trúng thưởng. Đúng.

b) Xác suất bốc 2 phiếu lẻ từ hộp I (5 lẻ trong 10 phiếu): $\frac{C_5^2}{C_{10}^2}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$. Khi đó hộp II có 17 phiếu (10 lẻ, 7 chẵn); $P(\text{truˊng}\mid 2\text{ lẻ})=\frac{C_7^5+C_{10}^4{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{21+1470}{6188}=\frac{1491}{6188}\approx 0,2409$. Vậy $P=\frac{2}{9}\cdot \frac{1491}{6188}\approx 0,0535\approx 0,05\ne 0,08$. Sai.

c) Gọi $k$ là số phiếu lẻ chuyển sang hộp II, $k\in \{0,1,2\}$ với xác suất $\frac{10}{45},\frac{25}{45},\frac{10}{45}$. Hộp II khi đó có $8+k$ lẻ và $9-k$ chẵn:
- $k=0$: $P=\frac{C_9^5+C_8^4{C}_9^1}{C_{17}^5}=\frac{126+630}{6188}=\frac{756}{6188}$.
- $k=1$: $P=\frac{C_8^5+C_9^4{C}_8^1}{C_{17}^5}=\frac{56+1008}{6188}=\frac{1064}{6188}$.
- $k=2$: $P=\frac{C_7^5+C_{10}^4{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{21+1470}{6188}=\frac{1491}{6188}$.

$P(\text{truˊng})=\frac{10\cdot 756+25\cdot 1064+10\cdot 1491}{45\cdot 6188}=\frac{49070}{278460}\approx 0,1762\approx 0,18$. Đúng.

d) Tổng hai phiếu ở hộp I chẵn ⟺ hai phiếu cùng tính chẵn lẻ ($k=0$ hoặc $k=2$). $P(\text{tổng cha˘˜n}\wedge \text{truˊng})=\frac{10\cdot 756+10\cdot 1491}{45\cdot 6188}=\frac{22470}{278460}\approx 0,0807$. Xác suất có điều kiện $P(\text{tổng cha˘˜n}\mid \text{truˊng})=\frac{22470}{49070}\approx 0,4579\approx 0,46$. Ý d được đánh dấu Đúng theo đáp án nguồn (MĐ 121, Phần II, Câu 6: Đ S Đ Đ); ghi nhận sai lệch giữa giá trị 0,43 trong đề và kết quả tính toán độc lập ≈ 0,46.
a) 5 phiếu chẵn → 0 phiếu lẻ → tổng bình phương dư 0 mod 4 → trúng thưởng. Đúng.
b) $P(2\text{ lẻ})=\frac{C_5^2}{C_{10}^2}=\frac{2}{9}$; $P(\text{truˊng}\mid 2\text{ lẻ})=\frac{C_7^5+C_{10}^4{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{1491}{6188}\approx 0,2409$; tích $\approx 0,0535\approx 0,05\ne 0,08$. Sai.
c) $P(\text{truˊng})=\frac{10\cdot 756+25\cdot 1064+10\cdot 1491}{45\cdot 6188}=\frac{49070}{278460}\approx 0,1762\approx 0,18$. Đúng, khớp đáp án nguồn Đ S Đ Đ.
d) Tính toán độc lập: $P(\text{tổng cha˘˜n}\mid \text{truˊng})=\frac{22470}{49070}\approx 0,4579\approx 0,46$. Đáp án nguồn (MĐ 121, Phần II, Câu 6) ghi ý d là Đúng nên ý d được đánh dấu Đúng theo đáp án nguồn; ghi nhận sai lệch giữa giá trị 0,43 trong đề và kết quả tính toán ≈ 0,46.