Từ một tấm kẽm hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $30cm$, người ta muốn gập tấm kẽm theo hai cạnh $EF$ và $GH$ cho đến khi $AD$ và $BC$ trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Biết rằng $AD\parallel EF\parallel GH\parallel BC$. Đặt $DF=CH=x(cm)$ với $7,5<x<15$.

Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $AE=DF=x$, $GB=CH=x$ nên $EG=FH=30-2x\ne 30-x$ → a) Sai.

b) Sau khi gập, $A\equiv B$ nên tam giác $AEG$ cân tại $A$ với $AE=AG=x$, $EG=30-2x$. Đường cao $h=\sqrt{x^2-(15-x{)}^2}=\sqrt{30x-225}=\sqrt{15(2x-15)}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}(30-2x)\sqrt{15(2x-15)}=(15-x)\sqrt{15(2x-15)}=\sqrt{15(15-x{)}^2(2x-15)}$ → Đúng.

c) $f(x)=(15-x{)}^2(2x-15)$, $f^{\prime }(x)=-2(15-x)(2x-15)+2(15-x{)}^2=2(15-x)(30-3x)=6(15-x)(10-x)$. Mệnh đề đưa $(x-15)(3x-30)=3(15-x)(10-x)$, thiếu thừa số 2 → Sai.

d) $V=S\cdot FH=(15-x)\sqrt{15(2x-15)}\cdot (30-2x)=2(15-x{)}^2\sqrt{15(2x-15)}$. Xét $g(x)=(15-x{)}^2(2x-15)$, $g^{\prime }(x)=6(15-x)(10-x)=0\Rightarrow x=10$ (thuộc $(7,5;15)$), điểm cực đại. $V_{\max }=2\cdot 25\cdot \sqrt{75}=1250\sqrt{3}c{m}^3\ne 700\sqrt{3}$ → Sai.

Khớp đáp án nguồn (Mã đề 852, Phần II Câu 3): a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AE=DF=x$, $GB=CH=x$ nên $EG=FH=30-2x$, không phải $30-x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $AEG$ cân tại $A$: $AE=AG=x$, $EG=30-2x$; đường cao $\sqrt{15(2x-15)}$; $S=(15-x)\sqrt{15(2x-15)}=\sqrt{15(15-x{)}^2(2x-15)}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=6(15-x)(10-x)$, còn $(x-15)(3x-30)=3(15-x)(10-x)$, sai thừa số.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=2(15-x{)}^2\sqrt{15(2x-15)}$ lớn nhất tại $x=10$ với $V_{\max }=1250\sqrt{3}c{m}^3\ne 700\sqrt{3}$.