Cho hàm số $y=\ln x-\frac{1}{2}{x}^2+1$. Tìm giá trị lớn nhất $M$ của hàm số trên $\left[\frac{1}{2};2\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\ln x-\frac{1}{2}{x}^2+1$ xác định và liên tục trên $\left[\frac{1}{2};2\right]$. Ta có $y^{\prime }=\frac{1}{x}-x=\frac{1-x^2}{x}$. Trên $\left[\frac{1}{2};2\right]$ thì $x>0$, nên $y^{\prime }=0\iff x=1$. Với $x<1$ thì $y^{\prime }>0$, với $x>1$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số đồng biến trên $\left[\frac{1}{2};1\right]$ và nghịch biến trên $\left[1;2\right]$, do đó giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$: $M=y(1)=\ln 1-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$. So sánh với hai đầu mút: $y\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2-\frac{1}{8}+1=\frac{7}{8}-\ln 2\approx 0,182$ và $y(2)=\ln 2-2+1=\ln 2-1\approx -0,307$, đều nhỏ hơn $\frac{1}{2}$. Vậy $M=\frac{1}{2}$, khớp với đáp án nguồn 12B.