Từ một tấm tôn có hình dạng là nửa hình tròn bán kính $R=6$, người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật (như hình vẽ). Diện tích lớn nhất có thể của tấm tôn hình chữ nhật là

(AI giải đề cho tôi)
Đặt nửa đường tròn tâm $O$ bán kính $R=6$, hình chữ nhật $ABCD$ có đáy $AB$ nằm trên đường kính, hai đỉnh $C,D$ trên cung. Gọi $OB=x$ với $0<x<6$, khi đó chiều cao $BC=\sqrt{36-x^2}$ và chiều rộng $AB=2x$.

Diện tích: $S(x)=2x\sqrt{36-x^2}$.

Xét $S^2(x)=4x^2(36-x^2)=144x^2-4x^4$. Đặt $t=x^2$, hàm $f(t)=144t-4t^2$ đạt max tại $t=18$, tức $x=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$.

Khi đó $S_{\max }=2\cdot 3\sqrt{2}\cdot \sqrt{36-18}=6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}=36$.

Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là $36$.