Với mọi số thực a, b > 0. Giả sử các biểu thức xuất hiện trong các công thức của mỗi mệnh đề đều có nghĩa.

(AI giải đề cho tôi)
a) $(a^{\sqrt{6}}{)}^{\sqrt{24}}=a^{\sqrt{6}\cdot \sqrt{24}}=a^{\sqrt{144}}=a^{12}\ne a^{10}$ → sai.
b) $\sqrt[3]{a}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[12]{a^5}=a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{5}{12}}=a^{\frac{4+3+5}{12}}=a^1=a$ → đúng.
c) Tính từ trong ra: $a^3\sqrt[3]{a}=a^{3+\frac{1}{3}}=a^{\frac{10}{3}}$; $\sqrt[4]{a^{10/3}}=a^{\frac{10}{12}}=a^{\frac{5}{6}}$; $a\cdot a^{5/6}=a^{\frac{11}{6}}$; $\sqrt[3]{a^{11/6}}=a^{\frac{11}{18}}$. Vì $\frac{11}{18}\ne \frac{15}{25}=\frac{3}{5}$ → sai.
d) Đặt $x=a^{1/4},y=b^{1/4}$. Ta có $\frac{a-b}{a^{3/4}+a^{1/2}{b}^{1/4}}=\frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{x^2(x+y)}=\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2}$ và $\frac{a^{1/2}-b^{1/2}}{a^{1/4}+b^{1/4}}=\frac{x^2-y^2}{x+y}=x-y$. Biểu thức trong ngoặc: $(x-y)\left(\frac{x^2+y^2}{x^2}-1\right)=(x-y)\cdot \frac{y^2}{x^2}$. Chia cho $(x-y)$ được $\frac{y^2}{x^2}={\left(\frac{b}{a}\right)}^{1/2}={\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1/2}$. Số mũ của phân số $\frac{a}{b}$ là $-\frac{1}{2}$, không phải $\frac{1}{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{6}\cdot \sqrt{24}=12$, nên kết quả là $a^{12}\ne a^{10}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số mũ $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{5}{12}=1$ nên biểu thức bằng $a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức bằng $a^{11/18}$, còn $a^{15/25}=a^{3/5}$, hai số mũ khác nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức rút gọn thành $(b/a{)}^{1/2}=(a/b{)}^{-1/2}$, số mũ là $-\frac{1}{2}$ chứ không phải $\frac{1}{2}$.