Rút gọn biểu thức $P=a^{\frac{3}{4}}:\sqrt{a}$ với $a>0$ thu được kết quả là

Biểu thức $\sqrt{x}.\sqrt[3]{x}.\sqrt[6]{x^5}$ $(x>0)$ được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là

Rút gọn biểu thức $\frac{a^{\sqrt{7}+1}.a^{2-\sqrt{7}}}{{\left(a^{\sqrt{2}-2}\right)}^{\sqrt{2}+2}},(a>0)$ ta được kết quả là

Với $\alpha$ là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai?

Rút gọn biểu thức $\frac{4a-9a^{-1}}{2a^{\frac{1}{2}}-3a^{\frac{-1}{2}}}-\frac{a+4+3a^{-1}}{a^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{-1}{2}}}$ được kết quả là:

Cho $4^x+4^{-x}=7$. Biểu thức $P=\frac{5+2^x+2^{-x}}{8-4.2^x-4.2^{-x}}$ có giá trị bằng

Với mọi số thực dương $a$, $b$, $x$, $y$ và $a,b\ne 1$, mệnh đề nào sau đây sai?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Với a là số thực dương tùy ý, ${\log }_7{a}^2$ bằng

Cho $a>0$ và $a\ne 1$, khi đó ${\log }_a\sqrt[4]{a}$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_3(3a)$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_{2}3+{\log }_{2}a$ bằng

Với điều kiện nào của $a,b$ thì khẳng định ${\log }_{a}b=\alpha \iff a^{\alpha }=b$ là đúng?

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Nếu ${\log }_{7}x=8{\log }_{7}a{b}^2-2{\log }_7{a}^{3}b$ (a, b > 0) thì x bằng:

Cho ${\log }_{2}3=a,{\log }_{2}5=b$. Biểu thị ${\log }_{9}10$ theo a và b

Cho hai số thực $a$ và $b$, với $1<a<b$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số mũ?

Trong các hàm số sau, hàm số nào không phải là hàm số logarit?

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?

Cho hàm số $f(x)=2^x.7^{x^2}$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Tìm $x$ để biểu thức ${\left(x^2-1\right)}^{\frac{1}{3}}$ có nghĩa:

Tập xác định của hàm số $y=(1-x{)}^{\frac{3}{2}}$ là

Tập xác định của hàm số $y=7^x$.

Tập xác định của hàm số $y={\log }_{2}x$ là

Tập xác định của hàm số $y={\log }_3\sqrt{x^2-9x+20}$

Tìm tập xác định của hàm số $y={\log }_{2024}(3x-x^2)$.

Cho hàm số $y=a^x$ $(0<a\ne 1)$ có đồ thị như hình vẽ:



Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $y={\log }_{a}x$ $(0<a\ne 1)$ có đồ thị như hình vẽ:



Khẳng định nào sau đây là đúng?

Nghiệm của phương trình $5^{2x-4}=25$ là

Tập hợp nghiệm của phương trình $3^{x^2-x-4}=\frac{1}{81}$ là

Phương trình $2^x=a$ có nghiệm khi ?

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình ${\sqrt{2}}^{x^2+2x+3}=8^x$.

Nghiệm của phương trình ${\log }_{3}x=2$ là

Phương trình ${\log }_3(3x-2)=3$ có nghiệm là:

Phương trình ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-1)=1$ có tập nghiệm là:

Tìm tất cả các giá trị thực của $a$, biết ${\log }_{a}2>{\log }_{a}3$.

Tập nghiệm của bất phương trình $4^{x-1}<16$ là:

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\log }_2(x-1)>4$.

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(5x+1)<-5$ là

Trong không gian cho đường thẳng d và điểm $O$. Qua $O$ có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với d?

Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian là góc giữa:

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt $a$, $b$, $c$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BD$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Số đo của góc $(SB,CD)$ bằng

Nếu đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì

Qua điểm $O$ cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $\Delta$ cho trước?

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy (tham khảo hình vẽ bên dưới). Đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng nào?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Góc giữa $SC$ với $(ABCD)$ bằng?

Hình hộp ABCD.A'B'C'D' trở thành hình lăng trụ tứ giác đều khi phải thêm các điều kiện nào sau đây?

Trong lăng trụ đều khẳng định nào sau đây sai?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Mặt phẳng $(A^{\prime }AC)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).



Số đo góc giữa hai mặt phẳng $(ABD)$ và mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }BA)$ là:

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=AB$ (tham khảo hình bên).



Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = $a\sqrt{3}$. Góc giữa (SCD) và (ACD) là:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA\perp (ABCD)$. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng $(ABCD)$?

Với mọi số thực a, b > 0. Giả sử các biểu thức xuất hiện trong các công thức của mỗi mệnh đề đều có nghĩa.

Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lường cồn trong máu của một người. Chẳng hạn, BAC 0,02% hay 0,2 mg/ml, nghĩa là có 0,02 g cồn trong 100 ml máu. Nếu một người với BAC bằng 0,02% có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp 1,4 lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với BAC 0,02% là 1,4. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hóa bằng một phương trình có dạng $R=e^{kx}$, trong đó x (%) là nồng độ cồn trong máu và k là một hằng số. Biết rằng các kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm O và tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB.

Nếu ${\log }_{a}x=\frac{1}{2}{\log }_{a}9-{\log }_{a}5+{\log }_{a}2$ $(a>0,a\ne 1)$ thì x bằng bao nhiêu (Làm tròn đến 1 chữ số thập phân):

Cho $a>0,a\ne 1$, biểu thức $D={\log }_{a^3}a$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Tích tất cả các nghiệm của phương trình ${\ln }^{2}x+2\ln x-3=0$ bằng bao nhiêu?

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-7}>\frac{1}{4}$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Số đo của góc $(SB,CD)$ bằng $m^{\circ }$. Khi đó m bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$, biết $SA=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Góc giữa $SC$ với $(ABCD)$ bằng $m^{\circ }$. Khi đó $m$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2a$, $SA=SB=SC=SD=2a$. Gọi $\phi$ là góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$. Tính $\tan \phi$ bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA\perp (ABCD)$. Tính góc phẳng nhị diện $[S;AB;D]$ bằng $m^{\circ }$. Khi đó $m$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn đến 2 chữ số thập phân):

Giải phương trình, bất phương trình sau:

a) $2^{x+1}=16$

b) $0,125.4^{2x-3}={\left(\frac{\sqrt{2}}{8}\right)}^{-x}$

c) ${\log }_{\sqrt{2}}^{2}x+3{\log }_{2}x+{\log }_{\frac{1}{2}}x=2$

d) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{x-1}}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

e) ${\log }_2(x-1)\ge 3$

f) ${\log }_2(3x-2)>{\log }_2(6-5x)$

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${\log }_3\frac{x^2-16}{343}<{\log }_7\frac{x^2-16}{27}$?

Ông A gửi tiết kiệm 50 triệu đồng ở ngân hàng X với lãi suất không đổi 5,5\% một năm. Bà B gửi tiết kiệm 95 triệu đồng ở ngân hàng Y với lãi suất không đổi 6,0\% một năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi của bà B lớn hơn hai lần tổng số tiền cả vốn lẫn lãi của ông A?

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức $S=A.e^{rt}$, trong đó $A$ là số lượng vi khuẩn ban đầu, $r$ là tỉ lệ tăng trưởng $(r>0)$, $t$ là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 1000 con và sau 5 giờ có 3000 con. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng gấp đôi?

Năm 2023, một hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là 850.000.000 đồng và dự định trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm giảm 2\% giá bán của năm liền trước. Theo dự định đó, năm 2028 hãng xe ô tô niêm yết giá bán xe X là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)?

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC).

a/ Chứng minh $BC\perp (SAB)$

b/ Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh $AH\perp SC$

Cho tứ diện $OABC$ có 3 cạnh $OA$, $OB$, $OC$ đôi một vuông góc. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$ tới $(ABC)$. Chứng minh $H$ là trực tâm tam giác $ABC$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{2}$

1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2. Gọi H là hình chiếu của A lên SB, Chứng minh $AH\perp$ mp(SBC) và $AH\perp SC$

3. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) SD và BC b) AB và SC c) BD và SC

4. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp (ABCD), SC và (SAB), SA và (SBD)

5. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD), (SCD) và (SCB)

6. Chứng minh (SAC) $\perp$ (SBD)