Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${\log }_3\frac{x^2-16}{343}<{\log }_7\frac{x^2-16}{27}$?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\frac{x^2-16}{343}>0$ (điều kiện $x^2>16$, tức $|x|\ge 5$). Khi đó $\frac{x^2-16}{27}=t\cdot \frac{343}{27}=t{\left(\frac{7}{3}\right)}^3$.

Bất phương trình trở thành:
$${\log }_{3}t<{\log }_{7}t+3.$$
Với $u=\ln t$: $\frac{u}{\ln 3}<\frac{u}{\ln 7}+3\Rightarrow u\cdot \frac{\ln (7/3)}{\ln 3\ln 7}<3$, nên
$$\ln t<\frac{3\ln 3\ln 7}{\ln (7/3)}=\frac{3(1,0986)(1,9459)}{0,8473}\approx 7,5699.$$
Vậy $0<t<e^{7,5699}\approx 1938,9$, tức
$$16<x^2<343\cdot 1938,9\approx 665043.$$
Vì $815^2=664225<665043<816^2=665856$ nên $5\le |x|\le 815$.

Số giá trị $x\in \{5,\dots ,815\}$ là $811$, và tương tự cho $x\in \{-815,\dots ,-5\}$ là $811$.

Tổng cộng: $811+811=1622$ số nguyên $x$.