Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{2}$

1. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

2. Gọi H là hình chiếu của A lên SB, Chứng minh $AH\perp$ mp(SBC) và $AH\perp SC$

3. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) SD và BC b) AB và SC c) BD và SC

4. Tính góc giữa đường thẳng SC và mp (ABCD), SC và (SAB), SA và (SBD)

5. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD), (SCD) và (SCB)

6. Chứng minh (SAC) $\perp$ (SBD)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a√2).

1) SA⊥(ABCD) ⇒ SA⊥AB, SA⊥AD nên (SAB), (SAD) vuông tại A. Vì BC⊥AB và BC⊥SA ⇒ BC⊥(SAB) ⇒ BC⊥SB: tam giác SBC vuông tại B. Tương tự CD⊥AD, CD⊥SA ⇒ CD⊥SD: tam giác SCD vuông tại D.

2) AH⊥SB (giả thiết), BC⊥(SAB) ⇒ BC⊥AH ⇒ AH⊥(SBC) (AH nằm trong (SAB), SB = (SAB)∩(SBC)) ⇒ AH⊥SC.

3a) BC∥AD nên góc(SD,BC) = góc(SD,AD) = ∠SDA, tan∠SDA = SA/AD = √2 ⇒ góc ≈ 54°44′.
3b) AB∥CD nên góc(AB,SC) = ∠SCD. Tam giác SCD vuông tại D: SC = √(SD²+CD²) = √(3a²+a²) = 2a, cos∠SCD = CD/SC = 1/2 ⇒ góc = 60°.
3c) BD⊥AC (hình vuông) và BD⊥SA ⇒ BD⊥(SAC) ⇒ BD⊥SC ⇒ góc = 90°.

4) SC với (ABCD): hình chiếu của S là A, của C là C, góc = ∠SCO với O tâm hình vuông, AO = a√2/2; tan∠SCO = SA/AO = 2 ⇒ góc ≈ 63°26′.
SC với (SAB): CB⊥(SAB) nên hình chiếu của C là B; góc = ∠CSB, tam giác SBC vuông tại B, SB = a√3, tan∠CSB = BC/SB = 1/√3 ⇒ góc = 30°.
SA với (SBD): (SAC)⊥(SBD) (câu 6) nên hình chiếu của A lên (SBD) là O = AC∩BD; góc = ∠SAO. SO = √(SA²+AO²) = a√10/2, tan∠SAO = SO/AO = √5 ⇒ góc ≈ 65°54′.

5) (SCD) và (ABCD): CD là giao tuyến, CD⊥(SAD) ⇒ góc = ∠SDA = arctan√2 ≈ 54°44′.
(SCD) và (SCB): giao tuyến SC. Trong (SAC) kẻ AK⊥SC (K∈SC), trong (SBC) kẻ KH⊥SC. Vì AH⊥(SBC) nên SC⊥KH (định lý ba đường vuông góc) ⇒ góc giữa hai mp là ∠AKH. Tam giác SAC vuông tại A (SA = AC = a√2, SC = 2a): AK = SA·AC/SC = a. Tam giác SAB: AH = SA·AB/SB = a√6/3. Tam giác AHK vuông tại H: sin∠AKH = AH/AK = √6/3 ⇒ góc ≈ 54°44′.

6) BD⊥AC và BD⊥SA ⇒ BD⊥(SAC); BD ⊂ (SBD) ⇒ (SBD)⊥(SAC). Đpcm.