Giải phương trình, bất phương trình sau:

a) $2^{x+1}=16$

b) $0,125.4^{2x-3}={\left(\frac{\sqrt{2}}{8}\right)}^{-x}$

c) ${\log }_{\sqrt{2}}^{2}x+3{\log }_{2}x+{\log }_{\frac{1}{2}}x=2$

d) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{x-1}}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^4$

e) ${\log }_2(x-1)\ge 3$

f) ${\log }_2(3x-2)>{\log }_2(6-5x)$

(AI giải đề cho tôi)
a) $2^{x+1}=16=2^4\Rightarrow x+1=4\Rightarrow x=3$.

b) $0,125\cdot 4^{2x-3}=2^{-3}\cdot 2^{4x-6}=2^{4x-9}$; $\frac{\sqrt{2}}{8}=2^{1/2-3}=2^{-5/2}$ nên ${\left(2^{-5/2}\right)}^{-x}=2^{5x/2}$. Suy ra $4x-9=\frac{5x}{2}\Rightarrow 8x-18=5x\Rightarrow x=6$.

c) Đặt $t={\log }_{2}x$ ($x>0$). Khi đó ${\log }_{\sqrt{2}}^{2}x=(2t{)}^2=4t^2$, ${\log }_{1/2}x=-t$. Phương trình: $4t^2+3t-t=2\iff 2t^2+t-1=0\iff t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=-1$. Vậy $x=\sqrt{2}$ hoặc $x=\frac{1}{2}$.

d) Cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên bất phương trình tương đương $\frac{1}{x-1}>4$ (với $x\ne 1$). $\frac{1-4(x-1)}{x-1}>0\iff \frac{5-4x}{x-1}>0\iff 1<x<\frac{5}{4}$. Vậy $x\in \left(1;\frac{5}{4}\right)$.

e) Điều kiện $x>1$. ${\log }_2(x-1)\ge 3\iff x-1\ge 8\iff x\ge 9$. Vậy $x\ge 9$ (tập nghiệm $[9;+\infty )$).

f) Điều kiện $3x-2>0$ và $6-5x>0$, tức $x>\frac{2}{3}$ và $x<\frac{6}{5}$. Với cơ số $2>1$: $3x-2>6-5x\iff 8x>8\iff x>1$. Kết hợp: $1<x<\frac{6}{5}$, tức $x\in \left(1;\frac{6}{5}\right)$.