Xét hàm số $y=\cos x-x$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\cos x-x$ trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=-\sin x-1$. Vì $-1\le -\sin x\le 1$ nên $y^{\prime }=-\sin x-1\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, và $y^{\prime }=0$ khi và chỉ khi $\sin x=-1$, tức $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Do đó $y^{\prime }\le 0$ trên $\mathbb{R}$ và $y^{\prime }$ chỉ triệt tiêu tại các điểm rời rạc, nên hàm số nghịch biến (giảm) trên toàn $\mathbb{R}$. a) Sai: hàm không đồng biến trên $\mathbb{R}$. b) Sai: tại $x=-\frac{\pi }{2}$, $y^{\prime }=0$ nhưng hàm vẫn nghịch biến qua điểm này (dấu $y^{\prime }$ không đổi, luôn âm hoặc bằng 0 hai bên), nên không phải điểm cực đại. c) Đúng: vì hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị. d) Đúng: hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ vì $y^{\prime }\le 0$ với mọi $x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-\sin x-1\le 0$ trên $\mathbb{R}$, hàm nghịch biến chứ không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=-\frac{\pi }{2}$ có $y^{\prime }=0$ nhưng dấu của $y^{\prime }$ không đổi qua điểm này (hàm vẫn nghịch biến), nên không phải cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ nên không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-\sin x-1\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và chỉ bằng 0 tại $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$.