Xét tính tăng giảm của các dãy số sau:

1). Dãy số $(u_n)$ với $u_n=2n^3-5n+1$.

2). Dãy số $(u_n)$ với $u_n=3^n-n$.

3). Dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{n}{n^2+1}$.

4). Dãy số $(u_n)$ với $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 57 (trang 24): Xét tính tăng giảm của các dãy số.

1) $u_n=2n^3-5n+1$. Ta có $u_{n+1}-u_n=2(n+1{)}^3-5(n+1)+1-(2n^3-5n+1)=6n^2+6n-3$. Với $n\ge 1$ thì $6n^2+6n-3\ge 6+6-3=9>0$, nên dãy số tăng.

2) $u_n=3^n-n$. Ta có $u_{n+1}-u_n=3^{n+1}-(n+1)-(3^n-n)=2\cdot 3^n-1>0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy số tăng.

3) $u_n=\frac{n}{n^2+1}$. Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)(n^2+1)-n(n^2+2n+2)}{(n^2+1)((n+1{)}^2+1)}=\frac{-n^2-n+1}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}$. Với $n\ge 1$ thì $-n^2-n+1\le -1<0$, nên dãy số giảm.

4) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}>0$. Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n+1}{n}}$. Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1\iff \frac{n+1}{n}<4\iff n>\frac{1}{3}$, đúng với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số giảm.

Kết luận: 1) tăng; 2) tăng; 3) giảm; 4) giảm.