Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=3\vec{j}-4\vec{i}+2\vec{k}$. Tọa độ của vectơ $\vec{u}$ là

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết $SA=SC$, tích vô hướng $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SB}$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ:

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

Trong $8$ phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao $h$ (tính bằng mét) so với mặt đất của khinh khí cầu vào thời điểm $t$ phút được cho bởi công thức $h(t)=6t^3-81t^2+324t$. Trong $3$ phút đầu tiên, độ cao của khinh khí cầu

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;-2;3)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến trục $Oy$ là

Biết đồ thị hàm số $y=f(x)$ có một đường tiệm cận ngang là $y=2$. Khi đó, đồ thị hàm số $y=3f(x)-2$ có một đường tiệm cận ngang là

Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}$.

Sau một trận lũ lớn, một trạm cứu hộ sử dụng drone để vận chuyển nhu yếu phẩm đến người dân bị cô lập. Chọn hệ trục $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại trạm cứu hộ, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo tính theo mét. Một chiếc drone chưa được sạc đầy pin xuất phát từ trạm, phát hiện được hai địa điểm cần cứu hộ ở trên nóc hai tòa nhà là $A(120;90;30)$ và $B(40;30;10)$. Sau khi bay đến điểm $A$, drone chỉ còn đủ pin để bay $40\%$ quãng đường từ $A$ đến $B$. Các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Để điều trị cho một bệnh nhân, bác sĩ tiêm một loại thuốc vào tĩnh mạch. Nồng độ $C(t)$ của thuốc trong máu bệnh nhân (đơn vị: mg/l) thay đổi theo thời gian $t$ (đơn vị: giờ) kể từ lúc tiêm $(t\ge 0)$ được xác định bởi công thức $C(t)=\frac{15t}{t^2+9}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(7;3;3),B(1;2;4),C(2;3;5)$.

Trong một sân vận động, chọn hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị đo là mét, trong đó mặt sân nằm trên mặt phẳng $Oxy$ và trục $Oz$ vuông góc với mặt sân. Một hệ thống camera tự động được lắp trên một thanh ray cố định ở phía trên sân. Hai đầu của thanh ray lần lượt có tọa độ là $A(0;6;8)$ và $B(12;6;8)$. Camera có thể di chuyển dọc theo đoạn ray $AB$. Một cầu thủ đang đứng cố định tại vị trí $C(6;0;0)$. Gọi $M$ là vị trí của camera. Để hình ảnh cầu thủ rõ nét, nhà sản xuất quy định độ phóng đại hiệu dụng của camera tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ camera đến cầu thủ. Do đó để hình ảnh đạt chất lượng cao nhất, cần tìm vị trí của điểm $M$ để khoảng cách $CM$ nhỏ nhất. Điểm $M$ cách đầu ray $A$ bao nhiêu mét để khoảng cách từ camera đến cầu thủ là nhỏ nhất?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^1(x-2{)}^2(x-3{)}^3\dots (x-2026{)}^{2026}$. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là bao nhiêu?

Tại một xưởng cơ khí, người ta dùng cần cẩu để di chuyển một kiện hàng. Kiện hàng nặng $50\text{ kg}$ được đặt trên một tấm ván gỗ hình vuông nặng $10\text{ kg}$. Tấm ván được giữ cân bằng nằm ngang gồm $4$ sợi dây cáp nhẹ, không giãn có độ dài bằng nhau. Một đầu của mỗi sợi dây cáp được gắn cố định vào một góc tấm ván, bốn đầu còn lại cùng được xỏ vào móc của cần cẩu. Khi cần cẩu nâng kiện hàng lên theo phương thẳng đứng, mỗi sợi dây cáp hợp với mặt phẳng tấm ván một góc $60^{\circ }$. Lấy gia tốc rơi tự do $g=10{\text{ m/s}}^2$. Lực căng của mỗi sợi dây cáp nối từ góc tấm ván đến móc của cần cẩu bằng bao nhiêu Newton? Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Bạn Trung có một tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $15\text{ cm}$ và chiều rộng $10\text{ cm}$. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh $B$ của góc đó chạm lên cạnh $CD$. Biết nếp gấp $MN$ có độ dài nhỏ nhất bằng $\frac{a\sqrt{b}}{c}$, với $a,b,c\in {\mathbb{N}}^{\ast },b,c$ là các số nguyên tố. Tính tổng $a+b+c$.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2-(m+7)x+5$ đạt cực tiểu tại $x=2$.

Một cửa hàng thời trang tự thiết kế (Local Brand) đang bán một mẫu áo phông. Hiện tại, trung bình mỗi tháng cửa hàng bán được $500$ chiếc với giá $300$ nghìn đồng/chiếc. Dữ liệu nghiên cứu thị trường cho thấy nếu cứ giảm giá bán $30$ nghìn đồng/chiếc, số lượng áo bán ra sẽ tăng thêm $100$ chiếc mỗi tháng. Biết hàm giá bán $p(x)$ theo số lượng $x$ chiếc áo bán ra là một hàm số bậc nhất. Cửa hàng sản xuất áo với tổng chi phí hàng tháng là $C(x)=0,12x+50$ (triệu đồng), trong đó $0,12$ triệu đồng là chi phí nguyên vật liệu cho một chiếc áo và $50$ triệu đồng là chi phí mặt bằng, nhân sự. Cửa hàng nên bán mỗi chiếc áo với giá bao nhiêu nghìn đồng để thu được lợi nhuận cao nhất?