Câu 6. Cho ${\int }_2^3\frac{x+8}{x^2+x-2}dx=a\ln 2+b\ln 5$ với $a,b$ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 7. Cho hình chữ nhật $ABCD$, trên cạnh $AB$ có $3$ điểm, trên cạnh $BC$ có $4$ điểm, trên cạnh $CD$ có $5$ điểm, trên cạnh $DA$ có $n$ điểm. Các điểm nằm trên các cạnh không trùng với các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$. Chọn ngẫu nhiên $3$ điểm trong $(n+12)$ điểm nằm trên các cạnh của hình chữ nhật đã cho. Biết xác suất để chọn được $3$ điểm lập thành một tam giác bằng $\frac{1069}{1140}$. Giá trị của $n$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Câu 8. Cho hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+d}(a>0)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.


Khi đó giá trị của biểu thức $2a+2b-c-d$ bằng

Câu 9. Cho hàm số $y=\frac{(4-m)\sqrt{6-x}+3}{\sqrt{6-x}+m}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ trong khoảng $(-10;10)$ sao cho hàm số đồng biến trên khoảng $(-10;5)$?

Câu 10. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ là $f(t)=45t^2-t^3,t=0,1,2,\dots ,25$. Nếu coi $f(t)$ là hàm số xác định trên đoạn $[0;25]$ thì đạo hàm $f^{\prime }(t)$ được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm $t$. Xác định khoảng thời gian mà tốc độ truyền bệnh giảm?

Câu 11. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-2026}{x-2}=2016$. Tính giới hạn ${\lim }_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{f(x)-1962}-4}{x^2+2x-8}$.

Câu 12. Một quả bóng cao su được thả từ độ cao $9\text{ m}$. Mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao của lần trước rơi. Tính tổng các khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa.

Câu 13. Cho các hàm số $y=f(x),y=f(f(x)),y=f(x^3+2)$ có đồ thị lần lượt là $(C_1),(C_2),(C_3)$. Đường thẳng $x=2$ cắt $(C_1),(C_2),(C_3)$ lần lượt tại $A,B,C$. Biết phương trình tiếp tuyến của $(C_1)$ tại $A$ và của $(C_2)$ tại $B$ lần lượt là $y=3x+4$ và $y=6x+13$. Phương trình tiếp tuyến của $(C_3)$ tại $C$ là

Câu 14. Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lạp xưởng. Xí nghiệp đã nhập về $600\text{ kg}$ bột mì và $240\text{ kg}$ đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần $120\text{ g}$ bột mì, $60\text{ g}$ đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần $160\text{ g}$ bột mì và $40\text{ g}$ đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi $7$ nghìn đồng, mỗi chiếc bánh dẻo lãi $5$ nghìn đồng. Hỏi lợi nhuận lớn nhất mà xí nghiệp thu được là bao nhiêu mà vẫn đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị?

Câu 15. Cho các hàm số $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng $x=5$ cắt trục hoành, đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ lần lượt tại $A,B$ và $C$.


Biết rằng $CB=2AB$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 16. Cho $f(x),g(x)$ là các hàm đa thức bậc $3$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đặt $h(x)=f(x)-g(x)$.


Hàm số $|h(|x|)|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Câu 17. Một hợp tác xã chuyên sản xuất trà sen chất lượng cao để xuất khẩu và bán lẻ, mỗi ngày sản xuất được $x\text{ kg}$ trà sen $(1\le x\le 20)$. Tổng chi phí sản xuất $x\text{ kg}$ trà sen trong ngày, tính theo đơn vị nghìn đồng, được xác định bởi hàm số: $C(x)=x^3-18x^2+266x+260$. Biết rằng toàn bộ sản lượng làm ra mỗi ngày đều được tiêu thụ hết với giá bán là $350\text{ nghıˋn đoˆˋng/kg}$. Gọi $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x\text{ kg}$ trà sen. Hỏi lợi nhuận tối đa mà hợp tác xã có thể thu về trong một ngày là bao nhiêu?

Câu 18. Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng $m=3\text{ kg}$ được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích $SA,SB,SC,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều, góc $ASC=90^{\circ }$. Biết độ lớn của lực căng mỗi sợi xích có dạng $\frac{a\sqrt{2}}{4}\text{ (N)}$. Biết trọng lượng của vật nặng được tính theo công thức $P=mg$, lấy $g=10{\text{ m/s}}^2$. Khi đó giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?


Câu 19. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(5;0;0),B(-5;0;0)$ và $C(1;0;5)$. Gọi $M$ là một điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ sao cho $|MA-MB|=8$. Giá trị nhỏ nhất của $MC$ bằng bao nhiêu?

Câu 20. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn ${\log }_2\frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2+3}=a(a-8)+b(b-8)+c(c-8)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a+2b+3c$.

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;-2),B\left(\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}\right)$.

Câu 2. Một mô hình $(H)$ cao $1\text{ m}$ có dạng hình "chóp lục giác cong đều" như hình vẽ bên dưới. Hai đáy của $(H)$ là hai hình lục giác đều bằng nhau, có tâm $I$ và $I^{\prime }$, cạnh bằng $3\text{ dm}$. Các cạnh bên của $(H)$ là các sợi dây thép $C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6$ nằm trên các đường hypebol có trục đối xứng $I{I}^{\prime }$. Biết hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của $(H)$ với mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với $I{I}^{\prime }$ là một lục giác đều. Khi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua trung điểm của $I{I}^{\prime }$ thì lục giác đều có cạnh $l=2\text{ dm}$.


Câu 3. Những căn nhà gỗ di động như hình được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng, đơn vị đo chiều dài và chiều rộng theo $\text{dm}$. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình bên cạnh. Biết $A^{\prime }(17;55;50),B^{\prime }(34;55;5)$ và $B^{\prime }M=\frac{2}{5}{A}^{\prime }{B}^{\prime }$.


Câu 4. Cho đa giác đều $A_1{A}_2\dots A_{24}$ nội tiếp đường tròn tâm $O$.

Câu 5. Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+3}{x+1}$ có đồ thị $(C)$.

Câu 6. Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là tứ giác lồi, $O=AC\cap BD$, tam giác $ABD$ cân tại $A$, cạnh $AB=a$, góc $BAD=120^{\circ }$, tam giác $BCD$ đều. Cạnh $SA$ vuông góc với $\text{mp}(ABCD)$, góc tạo bởi mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng $60^{\circ }$. Điểm $I$ là hình chiếu vuông góc của điểm $O$ trên cạnh $SC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và vuông góc với $SC$, cắt các cạnh $SB,SC,SD$ lần lượt tại $M,N,P$.

Câu 7. Cho hàm số $f(x)={\log }_3\left(\frac{3x}{2-x}\right)$.

Câu 8. Cho parabol $(P_1):y=f(x)=-x^2+4$ cắt trục hoành tại hai điểm $A,B$ và đường thẳng $d:y=a(0<a<4)$. Xét parabol $(P_2)$ đi qua $A,B$ và có đỉnh thuộc đường thẳng $y=a$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_1)$ và $d$. $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P_2)$ và trục hoành. Biết $S_1=S_2$ (tham khảo hình vẽ bên).


Câu 1. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm, liên tục, không âm trên $[0;2]$ và $f^{\prime }(x)>0,\forall x\in [0;2]$. Biết $f(0)=0$ và $[f(x){]}^4\cdot [f^{\prime }(x){]}^2\cdot (x+1{)}^4=81+9\cdot [f(x){]}^3,\forall x\in [0;2]$. Giá trị $f(2)$ bằng bao nhiêu?

Câu 2. Một nhân viên cứu hộ đứng ở mặt đất, điều khiển một drone chở vật tư y tế, dự kiến bay thẳng từ đỉnh $A$ của tháp thứ nhất đến đỉnh $B$ của tháp thứ hai. Tuy nhiên, do gặp một khu vực nhiễu sóng an ninh, nên drone phải bay thẳng từ $A$ đến một điểm $P$ trên mặt đất để hạ cánh. Nhân viên đó mang drone từ điểm $P$ dọc theo hướng Tây $40\text{ m}$ đến điểm $Q$ và sau đó drone bay thẳng từ $Q$ lên đỉnh $B$ của tháp thứ hai. Biết đỉnh $A$ cao $100\text{ m}$ và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu $200\text{ m}$ về phía Đông và $100\text{ m}$ về phía Nam. Đỉnh $B$ cao $300\text{ m}$ và có hình chiếu lên mặt đất cách vị trí người đứng ban đầu $140\text{ m}$ về phía Tây và $200\text{ m}$ về phía Nam.


Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc tại vị trí người đứng ban đầu, mặt phẳng $Oxy$ là mặt đất, trục $Ox$ hướng Đông, trục $Oy$ hướng Nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trên (đơn vị trên các trục là $100\text{ m}$). Để hoàn thành nhiệm vụ, người đó chọn vị trí điểm $P(a;b;c)$ trên mặt đất sao cho tổng quãng đường bay là ngắn nhất. Tính giá trị của biểu thức $S=4a+4b+2c$.

Câu 3. Một tấm kính làm mặt bàn $(H_1)$ có hình dáng tam giác đều với $3$ đỉnh được làm cong $(H_2)$. Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng $12\text{ (dm)}$. Để cắt góc được đẹp thì người ta dùng đường Parabol $(P):y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}$ $(H_3)$ có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác $(H_4)$.


Diện tích mặt kính là một số có dạng $a\sqrt{b}$. Tính tổng $a+b$.

Câu 4. Trên một banner quảng cáo, người ta thiết kế hình ảnh một đa giác đều $28$ đỉnh nội tiếp một đường tròn. Tại mỗi đỉnh có gắn một bóng đèn LED, được đánh số lần lượt từ $1$ đến $28$ theo chiều kim đồng hồ.


Sau mỗi phút, hệ thống chọn ngẫu nhiên $4$ bóng đèn trong $28$ bóng đèn để phát sáng đồng thời. Biết rằng trong $4$ bóng đèn phát sáng có ít nhất một bóng mang số lẻ, xác suất để tứ giác có $4$ đỉnh là $4$ vị trí bóng đèn phát sáng là một hình thang bằng $\frac{m}{n}$, với $m,n$ là các số tự nhiên và $\frac{m}{n}$ tối giản. Tính $m+n$.

Câu 5. Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+y^2-8x+10y+32+2\sqrt{y^2+10y+26}=2\sqrt{-6+8x-x^2}$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\left|\sqrt{x^2+y^2}-a\right|$, $S$ là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số $a$ thuộc đoạn $[-15;15]$ để $M\ge 3m$. Tính tổng các phần tử của $S$.

Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khoảng cách giữa $AB$ và $B^{\prime }C$ là $\frac{4\sqrt{5}}{5}$, khoảng cách giữa $BC$ và $A{B}^{\prime }$ là $\frac{4\sqrt{5}}{5}$, khoảng cách giữa $AC$ và $B{D}^{\prime }$ là $\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Thể tích của khối hộp bằng bao nhiêu?