Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=-2$ và ${\int }_1^{2}f(x)dx=3$ thì ${\int }_0^{2}f(x)dx$ bằng

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $K$ ($K$ là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của $\mathbb{R}$). Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Diện tích của hình phẳng (phần tô đậm) được tính theo công thức

Nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin x+x^2-\frac{1}{x}$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình bên và đạo hàm $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Giá trị của ${\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx$ bằng

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^3$. Giá trị của $F(2)-F(0)$ bằng

Cho $y=f(x)$ là hàm số liên tục và không âm trên đoạn $[a;b]$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ ($a<b$). Khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ xung quanh trục $Ox$ có thể tích là

Cho hàm số $f(x)=a{e}^{2x}+b$ liên tục trên $\mathbb{R}$ (với $a,b\in \mathbb{R}$) và $F(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x$ là một nguyên hàm của $f(x)$.

Một ô tô đang chạy với vận tốc $20\text{ m/s}$ thì người lái xe phát hiện có hàng rào chắn ngang đường ở phía trước cách xe $45\text{ m}$ (tính từ đầu xe tới hàng rào) nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-5t+20$ ($\text{m/s}$), trong đó $t$ là thời gian được tính từ lúc người lái đạp phanh.

Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(C)$, hai đường thẳng $d_1:x=a$ và $d_2:y=a$ ($a>0$). Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, trục tung và $d_1$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, chiều cao bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy. Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên.

Một vật thể có đáy là hình tròn với bán kính bằng $1$ (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\le x\le 1$), mặt cắt là một tam giác đều. Tính thể tích của vật thể đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tại một nhà máy, gọi $C(x)$ là tổng chi phí (tính theo triệu đồng) để sản xuất $x$ tấn sản phẩm A trong một tháng. Khi đó, đạo hàm $C^{\prime }(x)$ (gọi là chi phí cận biên) cho biết tốc độ tăng tổng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên (tính theo triệu đồng/tấn) của nhà máy được ước lượng bởi công thức $C^{\prime }(x)=9-0,04x+0,00021x^2$ với $0\le x\le 104$. Biết rằng $C(0)=20$ (triệu đồng) gọi là chi phí cố định. Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất $98$ tấn sản phẩm A trong tháng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $y=x^2-2x$ có đồ thị $(C)$. Kí hiệu $A$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=2$; $B$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=2,x=a$ ($a>2$). Tìm giá trị của $a$ để $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau.

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $S(0;0;4)$, $A(0;0;0)$, $B(0;4;0)$, $D(2;0;0)$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CD,SD$. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(AEF)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$ và $f(-1)=2024,f(1)=2025$. Tính $f(2)-f(-2)$.

Một người nông dân đã sửa lại sân trước nhà để phơi lúa vào mùa gặt. Sân có hình tứ giác $ABCD$ với $AB=700,02\text{ cm},AD=1200,02\text{ cm}$ và vị trí $B$ thấp hơn vị trí $A$ $5\text{cm}$, vị trí $D$ thấp hơn vị trí $A$ $8\text{cm}$ để tiện cho việc thoát nước khi trời mưa hoặc khi rửa sân. Biết rằng trước khi sửa, sân có hình thang $AEFG$ vuông tại $A$ và $E$ với $EF=15\text{ m}$ (tham khảo hình vẽ). Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A(0;0;0)$. Hãy xác định vị trí $C$ thấp hơn vị trí $A$ bao nhiêu $\text{cm}$? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).