Khoảng cách từ điểm $A(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):3x+4y+2z+4=0$ bằng

Cho đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P):4x-z+3=0$. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(1;2;1)$ và $N(3;1;-2)$. Đường thẳng $MN$ có phương trình là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;-2)$, bán kính $R=4$ có phương trình là:

Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-4x-2y+4z-16=0$ có tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ là:

Cho hai biến cố $A,B$ có xác suất $P(A)=0,4;P(B)=0,6;P(AB)=0,2$. Tính xác suất $P(A|B)$.

Gieo con xúc xắc 1 lần. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt 3 chấm. B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm là 1 số lẻ. Xác suất $P(A|B)$ là

Cho hàm số $f(x)=2x-3$

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;5;-3)$ và $B(3;-3;1)$, đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=1-t\\ z=3+t\end{array}$.

Biết ${\int }_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}}\left(2{\cot }^{2}x+5\right)dx=\frac{\pi }{a}+b\sqrt{3}+c$ $(a,b,c\in \mathbb{Z})$. Khi đó giá trị của $P=a+b+c$ là

Trong không gian tọa độ $(Oxyz)$, cho điểm $A(1;2;1)$ và mặt phẳng $(\alpha ):x-2y+2z+2=0$. Mặt phẳng $(\beta )$ song song với mặt phẳng $(\alpha )$ và cách $A$ một khoảng bằng 1. Khi đó mặt phẳng $(\beta )$ dạng $x-by+cz+d=0$, trong đó $b,c,d$ là các số thực dương. Giá trị của biểu thức $S=3b-c+d$ là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;0;24)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$ $3x+4y-z-8=0$ có phương trình dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$. Hỏi $d=$ ?

Trong một công viên cây xanh có 70\% cây có hoa, số cây phượng vĩ chiếm 6,3\% trong tổng số cây của công viên. Trong giờ thực hành ngoài trời, nhóm học sinh của lớp 12/1 chọn một cây trong công viên để đo chiều cao. Tính xác suất để cây được chọn là cây phượng vĩ, biết rằng cây được chọn là loài cây có hoa.

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):3x-2y+z+1=0$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ song song với mặt phẳng $(P)$ và cách điểm $N(1;-1;5)$ một khoảng bằng $\frac{11}{\sqrt{14}}$.

Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng parabol, chiều rộng 8 m, chiều cao 12,5 m. Diện tích của cổng bằng bao nhiêu?

Trong không gian hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay Cam Ranh - Khánh Hòa ở vị trí $O(0;0;0)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang chuyển động theo đường thẳng $d$ có phương trình $$\{\begin{array}{l}x=-1000+100t\\ y=-200+80t\\ z=10\end{array}(t\in \mathbb{R})$$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).



Xác định quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu.