Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$ là đường thẳng có phương trình

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;-2;1)$ và bán kính $R=5$. Phương trình của $(S)$ là

Công thức tính thể tích của một khối trụ có bán kính đáy là $R$ và chiều cao $h$ là

Cho hàm số $f(x)=-x^3+3x^2+2$ có đồ thị $(C)$ như hình vẽ. Tính diện tích $S$ của hình phẳng được tô đen như trong hình.

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1=6$ và $u_2=-12$. Công bội $q$ của cấp số nhân đã cho là

Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 12 được mẫu số liệu sau:

| Khoảng điểm | $[6,5;7)$ | $[7;7,5)$ | $[7,5;8)$ | $[8;8,5)$ | $[8,5;9)$ | $[9;9,5)$ | $[9,5;10)$ |
| :— | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |
| **Tần số** | $8$ | $10$ | $16$ | $24$ | $13$ | $7$ | $4$ |

Phương sai của mẫu số liệu về điểm trung bình môn Toán của các học sinh đó là

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $CD$. Đặt $\overrightarrow{BA}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số $f(x)=4\sin x\cos x+2x$.

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn $200\text{ m}$, tốc độ của ô tô là $36\text{ km/h}$. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t)=at+b$ ($a,b\in \mathbb{R},a>0$), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, sau 24 giây đó ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong 24 giây đầu trong thời gian còn lại trên cao tốc.

Trước 3 tiếng khi diễn ra trận Derby thành Manchester giữa MU-MC. Người ta phỏng vấn ngẫu nhiên 100 người hâm mộ của MU (có 20 người đang mặc áo của đội bóng) về việc có nên xem trận đấu đó hay không. Kết quả cho thấy rằng 75 người trả lời sẽ xem, 25 người trả lời sẽ không xem. Nhưng thực tế cho thấy rằng tỉ lệ người hâm mộ MU thực sự xem trận đấu tương ứng với những cách trả lời “có xem” và “không xem” là $80\%$ và $20\%$.

Gọi $A$ là biến cố “Người được phỏng vấn thực sự sẽ xem trận đấu”.
Gọi $B$ là biến cố “Người được phỏng vấn trả lời sẽ xem trận đấu”.

Các thiên thạch có đường kính lớn hơn $140\text{ m}$ và có thể lại gần Trái Đất ở khoảng cách nhỏ hơn $7500000\text{ km}$ được coi là những vật thể có khả năng va chạm gây nguy hiểm cho Trái Đất. Để theo dõi những thiên thạch này, các nhà nghiên cứu của trung tâm Vũ Trụ NASA đã thiết lập các trạm quan sát các vật thể bay gần Trái Đất. Giả sử có một hệ thống quan sát có khả năng theo dõi các vật thể ở độ cao không vượt quá $4600\text{ km}$ so với mực nước biển. Coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $6400\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ trong không gian có gốc $O$ tại tâm Trái Đất và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1000\text{ km}$. Một thiên thạch (coi như một hạt) chuyển động với tốc độ $v_1=2\sqrt{2}\cdot 10^3\text{ km/h}$ không đổi theo đường thẳng xuất phát từ điểm $M(0;5;12)$ đến $N(12;5;0)$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2$. Cạnh $B{A}^{\prime }=\sqrt{6}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $B^{\prime }C$ là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm)

Một cốc hình trụ có đường kính đáy bằng $7\text{ cm}$, chiều cao $15\text{ cm}$. Trong cốc chứa một lượng nước bằng $\frac{2}{3}$ thể tích cốc. Một con quạ muốn uống được nước trong cốc thì mặt nước phải cách miệng cốc không quá $3\text{ cm}$. Con quạ thông minh đã mổ những viên sỏi hình cầu có bán kính $0,9\text{ cm}$ thả vào cốc để mực nước dâng lên. Hỏi để uống được nước, con quạ cần thả ít nhất bao nhiêu viên sỏi?

Cho vật thể đáy là hình tròn có bán kính bằng $1$ (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bằng mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\le x\le 1$) thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích $V$ của vật thể đó là bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm)

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 400$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là $G(x)=\frac{100000x}{x^2+1}$ (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $H(x)=2x^3+100000x-50000$ (đồng) nhưng do doanh nghiệp đó mua nguyên vật liệu với số lượng lớn nên được giảm $1\%$ cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm $2\%$ cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-2z-38=0$ và hai mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-4=0$; $(\beta ):3y+z-5=0$. Xét $(P)$ là mặt phẳng thay đổi, song song với giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha ),(\beta )$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$. Khoảng cách lớn nhất từ điểm $A(5;-5;6)$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần mười)

Có hai hộp bi, hộp I có 5 bi trắng và 7 bi đỏ, hộp II có 10 bi trắng và 15 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ hộp I chuyển sang hộp II. Sau đó, từ hộp II lấy ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi trắng. Xác suất để 2 bi chuyển từ hộp I sang hộp II không cùng màu là $\frac{a}{b}$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính $a+b$.