(0,5 điểm) Giải bất phương trình ${\log }_2(x+1)<{\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)$

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0$ và $2x+1>0$ $\Rightarrow x>0$.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)=-{\log }_2(2x+1)$, nên bất phương trình trở thành:
$${\log }_2(x+1)<-{\log }_2(2x+1)\iff {\log }_2(x+1)+{\log }_2(2x+1)<0$$
$$\iff (x+1)(2x+1)<1\iff 2x^2+3x<0\iff x(2x+3)<0\iff -\frac{3}{2}<x<0.$$

Kết hợp với điều kiện $x>0$ thì tập nghiệm rỗng. Kiểm tra: với $x>0$ thì $x+1>1$ nên ${\log }_2(x+1)>0$, còn ${\log }_{1/2}(2x+1)<0$ (vì $2x+1>1$), nên vế trái luôn lớn hơn vế phải — bất phương trình vô nghiệm.

Vậy bất phương trình vô nghiệm: $S=\varnothing$.