Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A^{\prime }=(0,0,0)$, $B^{\prime }=(2a,0,0)$, $C^{\prime }=(a,\sqrt{3}a,0)$, $A=(0,0,a)$. Mặt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$. Mặt $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ chứa $\overrightarrow{B^{\prime }A}=(-2a,0,a)$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(-a,\sqrt{3}a,0)$, tích có hướng cho pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(\sqrt{3},1,2\sqrt{3})$. Khi đó $\cos \theta =\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1+12}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng bằng $30^{\circ }$.