(1 điểm) Cho hàm số $f$ xác định, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^2(-x)=\left(x^2+2x+4\right)f(x+2)$ và $f(x)\ne 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Viết phương trình tiếp tuyến của điểm có hoành độ bằng 0 và tung độ dương.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^2(-x)=(x^2+2x+4)f(x+2)$. Thay $x=0$: $f^2(0)=4f(2)$; thay $x=-2$: $f^2(2)=4f(0)$. Đặt $a=f(0),b=f(2)$: $a^2=4b,b^2=4a\Rightarrow a^4=16b^2=64a\Rightarrow a^3=64\Rightarrow a=4,b=4$. Vậy $f(0)=4>0$ (điểm cần tìm là $(0;4)$). Lấy đạo hàm hai vế: $-2f(-x)f^{\prime }(-x)=(2x+2)f(x+2)+(x^2+2x+4)f^{\prime }(x+2)$. Tại $x=0$: $-2f(0)f^{\prime }(0)=2f(2)+4f^{\prime }(2)\Rightarrow -8f^{\prime }(0)=8+4f^{\prime }(2)$. Tại $x=-2$: $-2f(2)f^{\prime }(2)=-2f(0)+4f^{\prime }(0)\Rightarrow -8f^{\prime }(2)=-8+4f^{\prime }(0)$. Giải hệ: $f^{\prime }(2)=-2f^{\prime }(0)-2$ thay vào phương trình thứ hai được $4f^{\prime }(0)+4=-2+f^{\prime }(0)\Rightarrow f^{\prime }(0)=-2$ (và $f^{\prime }(2)=2$). Tiếp tuyến tại $(0;4)$: $y=4-2x$.