(1 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$ có $AD=2a$ và $AB=BC=a,SA=a,SA\perp (ABCD)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AD$.

a) Chứng minh rằng $BC\perp (SAB)$.

b) Chứng minh rằng $(SAC)\perp (SBI)$.

c) Tính góc tạo bởi mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;2a;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;a)$, $I(0;a;0)$ (hình thang vuông tại $A,B$ nên $AD\parallel BC$, $AB\perp AD$).

a) Vì $AD\parallel BC$ và $AD\perp AB$ nên $BC\perp AB$. Do $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Vì $BC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AB,SA$ trong $(SAB)$ nên $BC\perp (SAB)$.

b) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{BI}=(-a;a;0)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BI}=-a^2+a^2=0\Rightarrow BI\perp AC$. Mặt khác $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BI$. Vậy $BI\perp (SAC)$, suy ra $(SBI)\perp (SAC)$.

Kiểm tra bằng pháp tuyến: $(SBI)$: ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SI}=(a;0;-a)\times (0;a;-a)=(a;a;a^2)$; $(SAC)$: ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AS}=(a^2;-a^2;0)$; ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=a^3-a^3=0$. ✓

c) $(SAD)$ chứa $SA\perp (ABCD)$ và $AD$ nên có pháp tuyến ${\vec{n}}_2=(1;0;0)$ (phương trình $x=0$). $(SBC)$: ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SC}=(a;0;-a)\times (a;a;-a)=(a;0;a^2)\propto (1;0;1)$. Khi đó
$$\cos \phi =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \phi =45^{\circ }.$$
Vậy góc giữa $(SBC)$ và $(SAD)$ bằng $45^{\circ }$.