(2 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thap $(AD\parallel BC)$, $AD=2BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Lấy $K$ thuộc đoạn thẳng $AB$ sao cho $AK=2KB$, $G$ là trung điểm $SD$, $H$ là trọng tâm tam giác $SAD$.

a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(AHK)$ và $(SBD)$.

b. Gọi $L$ là giao điểm của mặt phẳng $(KOH)$ và đường thẳng $SD$. Chứng minh $\frac{DL}{DG}=\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần III): Hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang AD∥BC, AD=2BC; O=AC∩BD; K∈AB với AK=2KB; G trung điểm SD; H trọng tâm tam giác SAD.

a) Ta có H là trọng tâm tam giác SAD nên AH là đường trung tuyến, do đó AH đi qua trung điểm của SD, tức là đi qua G. Suy ra G ∈ (AHK). Mặt khác G ∈ SD ⊂ (SBD). Ngoài ra B ∈ AK ⊂ (AHK) (vì K∈AB) và B ∈ (SBD). Vậy hai mặt phẳng (AHK) và (SBD) có hai điểm chung B, G, nên giao tuyến là đường thẳng BG.

b) Xét tam giác ABD: vì AD∥BC và AD=2BC nên các đường chéo cắt nhau tại O với DO:OB = AD:BC = 2:1, tức BO/BD = 1/3. Lại có BK/BA = KB/AB = 1/3 (vì AK=2KB). Suy ra BK/BA = BO/BD = 1/3, theo định lý Thales ta có KO ∥ AD.
Mặt khác AD ⊂ (SAD), do đó mặt phẳng (KOH) cắt mặt phẳng (SAD) theo giao tuyến d đi qua H và song song với AD. Trong tam giác SAD, H là trọng tâm nên đường thẳng qua H song song với AD cắt SD tại L với SL/SD = 2/3 (đường thẳng qua trọng tâm song song với cạnh cắt hai cạnh bên theo tỉ số 2/3 tính từ đỉnh). Suy ra DL/SD = 1/3.
Vì G là trung điểm SD nên DG/SD = 1/2. Do đó DL/DG = (1/3)/(1/2) = 2/3. Đpcm.

Kiểm tra bằng tọa độ: đặt B=0, A=a, C=c, D=a+2c; K=a/3, O=(a+2c)/3, H=(S+2a+2c)/3. L=(1/3)S+(2/3)D=(S+2a+4c)/3 thuộc mặt phẳng (KOH) (biểu diễn được L = −K + O + H... chính xác L = −K + O + H với hệ số tổng bằng 1 sau khi chuẩn hóa), và DL/DG = 2/3. Kết quả khớp.