(2 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA\perp (ABCD)$.
a) (1 điểm) Chứng minh rằng: $BD\perp SC$.
b) (1 điểm) Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh $SB,SD$. Chứng minh rằng: $HK\perp (SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$. Mà $SA$ và $AC$ cắt nhau tại $A$ và cùng thuộc $(SAC)$, suy ra $BD\perp (SAC)$. Vì $SC\subset (SAC)$ nên $BD\perp SC$. Đpcm.

b) Gọi $O=AC\cap BD$ là tâm hình vuông $ABCD$.

- Tam giác $SAB$ và $SAD$ vuông tại $A$ có $SA$ chung, $AB=AD$ nên bằng nhau (cạnh–cạnh–cạnh vuông), suy ra $SB=SD$. Do đó tam giác $SBD$ cân tại $S$; vì $O$ là trung điểm $BD$ nên $SO\perp BD$.
- Ta có $BD\perp SO$, $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), với $SO,SA$ cắt nhau tại $S$ và cùng thuộc $(SAC)$, suy ra $BD\perp (SAC)$.
- Trong $(SBD)$: vì $△SAB=△SAD$ nên $\widehat{BSA}=\widehat{DSA}$, tức $\widehat{BSH}=\widehat{DSK}$. Hai tam giác vuông $SBH$ và $SDK$ (vuông tại $H$ và $K$) có $SB=SD$ (cạnh huyền) và $\widehat{BSH}=\widehat{DSK}$ nên bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra $SH=SK$.
- Trong tam giác $SBD$ cân tại $S$: $\frac{SH}{SB}=\frac{SK}{SD}=\frac{SH}{SB}$ (vì $SH=SK$, $SB=SD$), theo định lí Thales thì $HK\parallel BD$. Suy ra $SA\perp HK$ (vì $SA\perp BD$).
- Xét tam giác $SHK$ cân tại $S$ ($SH=SK$) có $SO$ là phân giác góc $\widehat{HSK}$ (vì $\widehat{HSO}=\widehat{OSD}$ do $SO$ là đường cao đồng thời phân giác của tam giác $SBD$ cân tại $S$), nên $SO\perp HK$.
- Vậy $HK\perp SA$ và $HK\perp SO$, với $SA,SO$ cắt nhau tại $S$ và cùng thuộc $(SAC)$, suy ra $HK\perp (SAC)$. Đpcm.